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课件网) 2.5.3利用数量积计算长度和角度 向量的数量积是研究几何图形度量和位置关系问题的有力工具。涉及长度、夹角、平行、垂直等几何问题，通常可以运用向量的数量积运算加以解决。 一 向量长度的计算 例1： 例2 用向量方法证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 已知:四边形ABCD是平行四边形. 求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2. 变式 证明菱形的两条对角线互相垂直. 证明：菱形ABCD中，AB=AD，由于 可得 =0， 所以， 即菱形的两条对角线互相垂直. A B C D O 例3 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)， 试判断 ABC的形状，并给出证明. A(1,2) B(2,3) C(-2,5) x 0 y 二、向量夹角的计算 例4 已知单位向量 , 的夹角为60°，求向量 , 的夹角. 解：由单位向量 , 的夹角为60°，得 所以 ② ① 所以 又 设 与 的夹角为 ， 由①②可得 又 所以 . 即向量 与 的夹角为 . 课堂练习 解： D C A B 证明如图， 四边形ABCD是平行四边形，所必AC-AB+AD,BD-BC+CD 因此AC2=A正+A2=正+AD·4死+AD=A+2AEAD+AD 同理 BDBC +2BC-CD+CDBC-2AB-AD+ 所以AC2+B2=A正+D+BC+CD AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2. 即平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平乎方和.
