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课件网) 11．4 空间中的垂直关系 11．4.2 平面与平面垂直 第十一章 立体几何初步 二、直线与平面垂直的判定定理 线线垂直 线面垂直 1.图形表示 2.符号表示 关键：线不在多，相交则行 一、直线与平面垂直的定义 复习回顾： （一）请同学们回忆“如何判定直线和平 面垂直？” 一、平面几何知识： 等腰三角形底边上的中线垂直于底边 勾股定理 圆直径所对的圆周角是直角 菱形对角线互相垂直 矩形邻边互相垂直 二、空间直线和平面垂直的定义。 复习回顾： （二）判断空间垂直关系的关键是线线垂直， 你能想起多少种判断线线垂直的方法？独立思考 后举手回答，其他同学可作补充。 注意：要证线线垂直<=只要证线面垂直即可 1 二面角及二面角的平面角 平面的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做一个半平面。 从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角。 （1）半平面——— （2）二面角——— l l l l α l α l 按此继续 l A B 二面角 －AB－ l 二面角 － l－ 二面角C－AB－ D A B C D 5 O B A ∠AOB 二面角的认识 注意 二面角的平面角必须满足： 3）角的边都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 10 l O A B A O B 二面角的平面角 平面角的大小 直角 1、定义法 根据定义作出来 2、垂面法 作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到 l γ A B O 12 l O A B A O l D 3、三垂线定理法 借助三垂线定理或 其逆定理作出来 二面角的平面角的作法 寻找平面角 D 端点 中点 寻找平面角 中点 E G F 小结：求二面角大小的步骤为： （1）找出或作出二面角的平面角； （2）证明其符合定义垂直于棱； （3）计算. 例1 四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD.求： (1)二面角A－PD－C的平面角的度数； (2)二面角B－PA－D的平面角的度数； (3)二面角B－PA－C的平面角的度数． 题型一 求二面角 [解] (1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD， 又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD， 又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD， 又CD 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD. ∴二面角A－PD－C的平面角的度数为90°. (2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA． ∴∠BAD为二面角B－PA－D的平面角． 又由题意可得∠BAD＝90°， ∴二面角B－PA－D的平面角的度数为90°. (3)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA． ∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角． 又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°. 即二面角B－PA－C的平面角的度数为45°. [条件探究] 在本例中，若PA＝AB，二面角P－BC－D的平面角的度数又该如何求解？ 解 ∵PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD， ∴PA⊥BC．又BC⊥AB，且AB∩PA＝A， ∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB. ∴∠PBA为二面角P－BC－D的平面角． 在Rt△PAB中，PA＝AB.∴∠PBA＝45°. ∴二面角P－BC－D的平面角为45°. 求二面角大小的步骤 (1)找出这个平面角； (2)证明这个角是二面角的平面角； (3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小． [跟踪训练1] 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小． 解 由已知PA⊥平面ABC，BC 平面ABC， ∴PA⊥BC． ∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC． 又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC． 而PC 平面PAC，∴PC⊥BC． 又BC是二面角P－BC－A的棱， ∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角． 由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形， ∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°. 一、直观感知，导入新课： （一）、生活中面面垂直的例子无处不在， 你能举几个例子吗？请独立思考后 ... ...
