课件编号14948562

7.4 二项式定理 高二数学(苏教版2019选择性必修第二册) 课件(共43张PPT)

日期:2024-06-16 科目:数学 类型:高中课件 查看:15次 大小:18258657Byte 来源:二一课件通
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(课件网) 7.4 二项式定理 第7章 计数原理 教师 xxx 苏教版(2019) 选择性必修第二册 ↓ ↓ ↓ 若今天是星期四, 天后的这一天是星期几呢? 除以7的余数是多少? 展开后的表达式是什么样的? 问题引入 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2 思考:使用组合的观点说明(a+b)2是如何展开的。 (a+b)2==a2+2ab+b2 分析:(a+b)2可以看作是2个(a+b)相乘得到, 即(a+b)2= (a+b) (a+b) 因此以每个(a+b)中的b作为研究对象: 每个都不取b的情况有 种,则a2前的系数为 恰有1个取b的情况有 种,则ab前的系数为 恰有2个取b的情况有 种,则b2前的系数为 . ; ; 探究新知 使用上述方法展开(a+b)3 (a+b)3==a3+3a2b+3ab2+b3 分析:(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) ① 项: a3 a2b ab2 b3 ② 系数: 探究新知 使用上述方法展开(a+b)n (a+b)n= 分析:(a+b)n = (a+b)(a+b)...(a+b) ① 项: an an-1b ... an-kbk ... bn ② 系数: ... ... 探究新知 一、二项式定理 叫做二项式定理. 一般地,对于n∈N*, (a+b)n= 右边的多项式叫做(a+b)n 的二项展开式. 其中各项的系数(k=0,1,2,...,n)叫做二项式系数, 式中的叫做二项展开式的通项,记作 Tk+1 ,为展开式的第k+1项. Tk+1= 第 k+1项 探究新知 1、总共n+1项; 2、a按照降幂排列,b按照升幂排列,每一项中a、b的指数和为n; 二项展开式的特点: 3、第k+1项的二项式系数为 探究新知 特殊地: (1)当把b替换为-b时, (a-b)n= (2)当a=1,b=x时, (1+x)n= (3)当a=1,b=1时, (1+1)n= 探究新知 例1 求 的展开式. 解:根据二项式定理, 典型例题 例2 (1)求的展开式的第4项的系数; (2)求的展开式中x2的系数. 解:(1) 的展开式的第4项是 因此,展开式第4项的系数是280. 典型例题 解:(2) 的展开式的通项是 根据题意,得 因此,x2的系数是 典型例题 二、二项式系数的性质 1.对称性(性质1) 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上,这一性质可直接由=得到. 直线r=将函数f(r)=的图象分成对称的两部分,它是图象的对称轴. 探究新知 2.增减性与最大值(性质2) 因为==即 所以,当,即时,随k的增加而增大;由对称性知,当时,随k的增加而减小.当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值. 探究新知 3.各二项式系数的和(性质3) 已知(1+x)n=+x+x2+…+xn, 令x=1,得2n=+++…+. 这就是说,(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n. +…+=2n的背景意义 +…+的展开式左边是n个(1+x)相乘,按照取x的个数,可以将乘积中的项分为(n+1)类: 第1类,n个(1+x)都取1,即取0个x,共有种取法; 第2类,n个(1+x)中,1个取x,其余取1,共有种取法; 第3类,n个(1+x)中,2个取x,其余取1,共有种取法; …; 第n+1类,n个(1+x)中全部取x,共有种取法. 探究新知 例3 求证:在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 证明:在展开式 (a+b)n=中, 令a=1,b=-1,得 ( 1-1 )n= 即 因此 即在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 典型例题 例4 在二项式(2x-3y)9的展开式中,求: (1)二项式系数之和. (2)各项系数之和. (3)所有奇数项系数之和. 解:设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9. (1)二项式系数之和为:. (2)各项系数之和为:a0+a1+a2+…+a9, 令x=1,y=1,所以a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1. (3)令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-…-a9=59, 又a0+a1+a2+…+a9=-1,将两式相加得a0+a2+a4+a6+a8=(59-1)/2, 则所有奇数项系数之和为(59-1)/2. 典型例题 例5 在的展开式中 (1)求二项式系数最大的项 ... ...

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