山东省日照市2023届高三下学期2月模拟考试（一模）数学试题（含答案）

2020级高三模拟考试 数学答案 2023.02 一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1-4 DCDC 5-8BBBA 二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求的，全部选对得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分。 9.ABD 10. AC 11. ABC 12.AD 三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 10 113. 14. 3 15. 或 10 16.3 2 1. 四、解答题：共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 a1 a2 a3 a17．【解析】（1）解：因为 L n n2 n，① 2 3 4 n 1 a 则当 n 1时， 1 2，即 a 4， . ………………1分 2 1 a 当 n 2时， 1 a 2 a 3 a L n 1 n2 n，② 2 3 4 n a① ② 得 n 2n， 所以 an 2n(n 1)，. ……………….4分n 1 a1 4也满足 an 2n(n 1)，故对任意的 n N ， an 2n(n 1) . ……………….5分 n n 1 1 1 （2）证明： ( )(n 2)an 2n(n 1)(n 2) 2 n 1 n 2 ， ……….7分 1 2 L n 1 1 1 1 1 L 1 1 3a1 4a2 (n 2)an 2 2 3 3 4 n 1 n 2 1 1 1 1 . ……………….10分 2 2 n 2 4 A C 18．(1)解：因为 a sin b sin A， 2 sin Asin A C所以由正弦定理边角互化得 sin B sin A， ……….2分 2 因为 A 0, π ,sin A 0, A C π B， 所以 sin π B sin B B B ，即 cos sin B，所以cos 2sin B cos B， ……….4分 2 2 2 2 2 2 因为 B 0, π B (0, π，所以 ),cos B 0， 2 2 2 所以 sin B 1 B π ，所以 ，即 B π ……….6分 2 2 2 6 3 (2)解：因为 AC BC， B ， 3 所以 ABC为等边三角形，即 AC BC AB 1， 如图，设 AD m，则 BD 1 m,PD m， 高三数学试题 第 1 页 共 5页 2 2 2 BP2 1 m 2 m2 所以在△BPD中，由余弦定理得 cos B BP BD PD 1 ， 2BP BD 2BP 1 m 2 整理得 BP2 1 m 2 m2 BP 1 m ，设 BP x, 0 x 1， 2 2 x 2 3 所以m x x 1 2 x 3 2 x 3 3， ……….10分 2 x 2 x 2 x 由于0 x 1，故1 2 x 2 所以m 2 3 x 3 2 3 3 3，当且仅当 2 x 3时等号成立， 2 x 2 x 此时 x 2 3； 所以 AD的最小值为 2 3 3 . ……….12分 19．解：由题可知： PO 面ABC，分别取 AC，BC 的中点M，N，连接PM ，OM ,PN ,ON , 则在圆O中，OM AC； 因为PA PC ,M 是 AC中点，所以 AC PM ； 所以 PMO .同理 PNO . ……….3分 1 1 OM 2 于是 2 2 ( ) 2 (ON )2 OC OC 1 ( )2 ……….6分 tan tan OP OP OP AP2 OA2 2 OP OP （2）因为 tan 3 tan ，即 3 ，OM 3ON ON OM 所以BC 3AC ，又BC 2 AC 2 AB2 16 , 解得 AC 2，BC 2 3 ……….8分 在圆O中，CA CB，以点 C为坐标原点，CA所在直线为 x轴，CB所在直线为 y轴，过C且 垂直于平面 ABC的直线为 z轴建立空间直角坐标系C xyz， 则C(0,0,0)， A(2,0,0) , B(0,2 3,0) ,又因为 PO 面ABC ， 所以OP / /z轴，从而P(1, 3,2 2) . uur uur uur 则CA (2,0,0) ,CB (0,2 3,0) ,CP (1, 3,2 2) , 设平面PAC的法向量为m (x, y, z)， uur m CA 0 2x 0 则 uur ，即 m CP 0 x 3y 2 2z 0 不妨取 y 2 2，则 x 0， z 3，此时m (0,2 2, 3) 同理，平面PBC的一个法向量n ( 2 2,0,1) ……….10分 m n 3 33 所以 cos m，n = = |m| | n | 11 3 33 又二面角 A PC B为钝二面角， 所以二面角 A PC B 33的余弦值为 . ……….12分 33 高三数学试题 第 2 页 共 5页 a 20．解析：（1）由已知抛物线 E的焦点 F ( ,0)， 2 2 5 a 设与圆 G相切的直线 l方程为： y 0 (x )，即 2x 5y a 0 …2分 5 2 | 2 2 0 a | 所以由点到直线的距离 1，得 a 1或 a 7 4 5 因为 0 a 2 ,所以 a 1 ,则抛物线 E的方程 y2 2x . …………5分 x 2 （2）设 E(x 00 , )，则Q(x0，t)，4 当 x t0 0时， kOQ ，x0 由 y 1 x 2 y 1可得 x 1，所以切线 l的斜率为 k ... ...