gksxnd16 难点16 三角函数式的化简与求值[下学期]

难点16 三角函数式的化简与求值 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. ●难点磁场 (★★★★★)已知＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_____. ●案例探究 ［例1］不查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值. 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错. 技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会. 解法一：sin220°+cos280°+sin220°cos80° = (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80° =1－cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°) =1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220° =1－cos40°－(1－cos40°)= 解法二：设x=sin220°+cos280°+sin20°cos80° y=cos220°+sin280°－cos20°sin80°，则 x+y=1+1－sin60°=，x－y=－cos40°+cos160°+sin100° =－2sin100°sin60°+sin100°=0 ∴x=y=，即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°=. ［例2］设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值. 命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目 知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错. 技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等. 解：由y=2(cosx－)2－及cosx∈［－1，1］得： f(a) ∵f(a)=,∴1－4a=a=［2,+∞ 故－－2a－1=，解得：a=－1，此时， y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5. ［例3］已知函数f(x)=2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值； (3)若当x∈［，］时，f(x)的反函数为f－1(x)，求f-－1(1)的值. 命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识. 错解分析：在求f-－1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法：等价转化，逆向思维. 解：(1)f(x)=2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx =2cosx(sinxcos+cosxsin)－sin2x+sinxcosx =2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+) ∴f(x)的最小正周期T=π (2)当2x+=2kπ－，即x=kπ－ (k∈Z)时，f(x)取得最小值－2. (3)令2sin(2x+)=1，又x∈［］, ∴2x+∈［,］,∴2x+=，则 x=，故f-－1(1)= . ●锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有： 1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值. 2.技巧与方法： 1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用. 3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法. 4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★★)已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈ (－)，则tan的值是( ) A. B.－2 C. D. 或－2 二、填空题 2.(★★★★)已知sinα=，α∈(，π)，ta ... ...