高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第2章 4-2 平面向量及运算的坐标表示（含解析）

4.2　平面向量及运算的坐标表示 必备知识基础练 1.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为(　　) A.-2,1 B.1,-2 C.2,-1 D.-1,2 2.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,用基{a,b}表示c,则(　　) A.c=3a-2b B.c=-3a+2b C.c=-2a+3b D.c=2a-3b 3.已知点A(1,3),B(4,-1),则与同方向的单位向量是(　　) A. B. C. D. 4.已知点A(0,1),B(1,2),向量=(2,3),则向量=(　　) A.(1,2) B.(-1,-2) C.(3,6) D.(-3,-5) 5.(多选)在平面上的点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),D(0,0),下列结论正确的是(　　) A. B. C.-2 D.+2 6.已知a=(2,4),b=(-1,1),则2a-3b=　　　　　. 7.设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则a+的值是　　　. 8.已知向量a=(2,1),b=(-1,3),c=(x,y). (1)若a+b+c=0,求实数x,y的值; (2)若非零向量c与a-b共线,求的值. 关键能力提升练 9.如图,在长方形ABCD中,AB=2AD,点M在线段BD上运动,若=x+y,则x+2y=(　　) A.1 B. C.2 D. 10.如果将=绕原点O逆时针方向旋转120°得到,则的坐标是(　　) A.- B.,- C.(-1,) D.- 11.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k的值为(　　) A.-2 B. C.1 D.-1 12.已知向量=(-2,4),=(-a,2),=(b,0),a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则的最小值为　　　　　. 13.如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标. 学科素养创新练 14.已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示. (1)证明:对于任意向量a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立; (2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标; (3)求使f(c)=(3,5)成立的向量c. 答案 1.D　因为c=λ1a+λ2b, 所以(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3). 所以解得λ1=-1,λ2=2. 2.A　如图建立平面直角坐标系,设正方形网格的边长为1, 则a=(1,1),b=(-2,3),c=(7,-3), 设向量c=ma+nb,则解得 所以c=3a-2b. 3.A　易得=(4-1,-1-3)=(3,-4),所以与同方向的单位向量为(3,-4)=,故选A. 4.A　设点C(x,y),所以=(x,y-1)=(2,3),即解得于是得点C(2,4),因此,=(1,2).故选A. 5.BC　A中,=(-2,1),=(4,0),=(-2,-1),∴.故不正确; B中,=(2,1),=(-2,1),=(0,2),,故正确; C中,=(-4,0),=(0,2),=(2,1), ∴-2,故正确; D中,=(2,1),=(0,2),=(-2,1), ∴+2,故不正确. 6.(7,5)　2a-3b=2(2,4)-3(-1,1)=(4+3,8-3)=(7,5). 7.　因为A,B,C三点共线,所以共线,所以存在实数λ,使(a-1,1)=λ(-b-1,2), 所以解得λ=,a+. 8.解(1)由题意可知c=-(a+b), ∴c=-(1,4)=(-1,-4), 即x=-1,y=-4. (2)由题意得a-b=(3,-2), ∵c∥(a-b),∴-2x-3y=0, 即=-. 9.A　由题可得,设AB=2AD=2,因为四边形ABCD是长方形,所以以点A为坐标原点,AB方向为x轴正方向,AD方向为y轴正方向建立平面直角坐标系,则B(2,0),D(0,1),则=(2,0),=(2,1),=(-2,1), 因为=x+y,所以=(2x+2y,y), 所以=(-2,0)+(2x+2y,y)=(2x+2y-2,y),因为点M在BD上运动,所以有,所以1×(2x+2y-2)=-2y,整理得x+2y=1,故选A. 10.D　因为=所在直线的倾斜角为30°,绕原点O逆时针方向旋转120°得到所在直线的倾斜角为150°,所以A,B两点关于y轴对称,由此可知B点坐标为-,故的坐标是-,故选D. 11.C　因为A,B,C三点不能构成三角形,则A,B,C三点共线,则,又=(1,2),=(k,k+1),所以2k-(k+1)=0,即k=1. 12.　由题意,得=(-a+2,-2),=(b+2,-4).又,所以-4(-a+2)=-2(b+2), 整理得2a+b=2,所以(2a+b)=3+≥3+2=,当且仅当,即a=1-,b=-1时,等号成立. 13.解(方法一)设=t=t(4,4)=(4t,4t), 则=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t), =(2,6)-(4,0)=(-2,6). 由共线的条件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0, 解得t=,所以=(4t,4t)=(3,3), 所以点P的坐标为(3,3). (方法二)设P(x,y),则=(x,y), 因为共线,=(4,4),所以4x-4y=0. ① 又=(x-2,y-6), =(2,-6),且向量 ... ...