高中数学北师大版（2019）必修第二册同步试题：第6章 3.1 第2课时 基本事实4、异面直线、等角定理（含解析）

第2课时　基本事实4、异面直线、等角定理 必备知识基础练 1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,B1B的中点,则∠EFG与∠ABC1(　　) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不确定 2.如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,H分别是边AB,AD的中点,点F,G分别是边BC,CD上的点,且,则下列说法正确的是(　　) ①E,F,G,H四点共面　②EF与GH异面　③EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上　④EF与GH的交点M一定在直线AC上 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是侧面AA1D1D,侧面CC1D1D的中心,G,H分别是线段AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是(　　) A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 4.长方体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为　　　　. 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,AE=,则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为　　　　　. 6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E,F,G,H分别为PA,PB,PC,PD的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形. 关键能力提升练 7.当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时,异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是(　　) A. B. C. D. 8.如图所示,已知三棱锥A-BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是(　　) A.MN≥(AC+BD) B.MN≤(AC+BD) C.MN=(AC+BD) D.MN<(AC+BD) 9.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点,则直线AB1和直线CC1所成的角的大小为　　　　　,直线AB1和直线EF所成的角的大小为　　　　　. 10.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点. 求证:(1)D1E∥BF; (2)∠B1BF=∠D1EA1. 学科素养创新练 11.如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=2,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角为90°,试求AA1的长. 答案 1.B　因为E,F,G分别为A1C1,B1C1,BB1的中点,所以EF∥A1B1∥AB,FG∥BC1,所以∠EFG与∠ABC1的两组对应边分别平行,一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,故∠EFG与∠ABC1互补. 2.B　依题意,可得EH∥BD,FG∥BD,故FG∥EH,所以E,F,G,H四点共面,所以①正确,②错误. 因为EH=BD,FG=BD,所以四边形EFGH是梯形; EF与GH必相交,设交点为M. 因为点M在EF上,故点M在平面ACB上, 同理,点M在平面ACD上,所以点M是平面ACB与平面ACD的交点.又AC是这两个平面的交线, 所以点M一定在直线AC上,所以④正确,③错误. 3.C　如图,连接AD1,CD1,AC,则E,F分别为AD1,CD1的中点.由三角形的中位线定理,知EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH,故选C. 4.5　如图,根据两条平行直线确定 一个平面,两条相交直线确定一个平面知,既与AB共面又与CC1共面的棱有BB1,AA1,BC,CD,C1D1,共5条棱. 5.　设棱长为1,连接AD1(图略).∵A1B1∥C1D1, ∴∠AED1(或其补角)就是异面直线AE与A1B1所成的角. AD1=,AE=, ∴在Rt△AED1中,cos∠AED1=. 6.证明在△PAB中,因为E,F分别是PA,PB的中点, 所以EF∥AB,EF=AB,同理GH∥DC,GH=DC. 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AB∥CD,AB=CD.所以EF∥GH,EF=GH. 所以四边形EFGH是平行四边形. 7.C　设正方体棱长为1,DP=x,则x∈[0,1],连接AD1,AP(图略). 由AD1∥BC1可知,∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角, 在△AD1P中,AD1=,AP=D1P=, 故cos∠AD1P=.又x∈[0,1], ∴cos∠AD1P=∈. 又∠AD1P∈(0,π),∴∠AD1P∈.故选C. 8.D　如图所示,取BC的中点E,连接ME,NE,则ME=AC,NE=BD, 所以ME+NE=(AC+BD). 在△MNE中,有ME+NE>MN,所以MN<(AC+BD). 9.45°　60°　连接DC1,易知DC1∥AB1, ∴直线DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是直线AB1和CC1所成的角.∵∠CC1D=45°,∴直线AB1和CC1所成的角的大小是45°.连接DA1,A1C1,∵E,F分别为AD,AA1的中点,∴EF∥A1D. 又AB1∥DC1,∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成 ... ...