第四章 指数函数与对数函数单元检测 一、单选题 1.下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A. B. C. D. 2.已知正数m,n满足,则的最小值为( ) A.3 B.5 C.8 D.9 3.若函数是指数函数,则等于( ) A.或 B. C. D. 4.已知函数是定义在R上的偶函数,则的解集为( ) A. B. C. D. 5.已知,,,则( ) A. B. C. D. 6.设且,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.在同一平面直角坐标系中,函数,且的图象可能是( ) A. B. C. D. 8.当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率),大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.现有某生物死亡若干年后,考古学家测算得其体内碳14含量衰减为原来的67.25%,则该生物死亡的年数大约为(参差数据:) A.3037 B.3056 C.3199 D.3211 二、多选题 9.若,则下列说法中正确的是( ) A.当为奇数时,的次方根为 B.当为奇数时,的次方根为 C.当为偶数时,的次方根为 D.当为偶数时,的次方根为 10.已知函数,则下列说法正确的是( ) A.定义域为 B.值域为 C.在上单调递增 D.在上单调递减 11.下列正确的是( ) A. B. C.若,则 D.若,且,则 12.已知函数,下列结论正确的是( ) A.若,则 B. C.若,则或 D.若方程有两个不同的实数根,则 三、填空题 13.函数的减区间是_____; 14.若函数是偶函数,则_____. 15.已知函数,若函数与轴有个交点,则实数的取值范围是_____. 16.定义域为的函数,若关于的方程恰有5个不同的实数解,,,,,则_____. 四、解答题 17.计算: (1); (2). 18.已知函数是指数函数. (1)求实数的值; (2)判断的奇偶性,并加以证明. 19.已知函数. (1)当时,利用单调性定义证明在上单调递增; (2)若存在,使,求实数a的取值范围. 20.已知函数(,且). (1)判断函数的单调性,并利用定义证明; (2)若函数在区间上的最大值与最小值的差为1,求a的值. 21.求函数最值有很多的方法,其中某些函数的最值可以利用配方法求值域,例如:,所以函数的最小值为-1,当且仅当时取得最小值. (1)利用配方法求函数的最小值; (2)某面粉厂定期买面粉,每次都购买x吨,运费为4万元每次,已知面粉厂一年购买面粉400吨,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值应为多少? 22.已知函数为偶函数. (1)求实数的值; (2)解关于的不等式; (3)设,若函数有2个零点,求实数的取值范围. 答案 1.C 2.D 3.C 4.D 5.D 6.A 7.A 8.A 9.AD 10.ABD 11.ABD 12.CD 13. 14.1 15. 16. 17.(1)原式 (2)原式 18.(1)由函数是指数函数可得,解得 (2)是偶函数, 证明:由(1)可得,所以,定义域为 ∵, ∴是偶函数. 19.(1)取,则, ,故,,故,,, 故,即,函数单调递增. (2),故,即, 当时,,不成立; 当时,不成立; 当时,,,故,故,解得, 综上所述: 20.(1)当时,函数为减函数;当时,函数为增函数. 证明如下: 由,得函数的定义域为, ,且,则, , 当时,函数在上为减函数, 所以,即, 此时函数在上为减函数; 当时,函数在上为增函数, 所以,即, 此时函数在上为增函数; (2)由(1)知,当时,函数在上为减函数; 则在上,, 得,解得; 当时,函数在上为增函数; 则在上,, 得,解得; 综上,a的值为或. 21.(1)由,则, 所以函数的最小值为4,当且仅当即时取得最小值. (2)一年购买400吨,每次都购买x吨,则需要购买 次,运费为4万元每次, 一年的总存储费用为4x万元,一年的总运费与总存储费用之和为 元, 由,有, 当且仅当 即吨时,等号成 ... ...
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