中小学教育资源及组卷应用平台 第一讲 平面向量的概念和运算 一．知识梳理 1、向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2、向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ a；λ(a＋b)＝λa＋λb 3、平面向量的数量积 平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ 叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos θ，规定0·a＝0. 4、向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 二．典型例题 例1．（1）如图的方格纸由若干个边长为1的小方形并在一起组成，方格纸中有两个定点、．点为小正方形的顶点，且． ①画出所有的向量； ②求的最大值与最小值． （2）如图，的三边均不相等，，，分别是边，，的中点． ①写出与共线的向量（自身除外）； ②写出与的模相等的向量（自身除外）． （3）下列关于向量的命题正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 变式1.（1）判断下列各命题是否正确，并说明理由： ①若，则； ②单位向量都相等； ③两相等向量若起点相同，则终点也相同； ④若，，则； ⑤若，则； ⑥由于零向量方向不确定，故它不能与任意向量平行． 例3.（1）如图，为正六边形的中心，作出下列向量． ①； ②； ③． 例4.（1）已知，则的最小值为 A． B．1 C．4 D．7 （2）已知平面向量，，，，则的最大值为 A．1 B．2 C．3 D．5 （3）已知点是边长为2的正方形所在平面内一点，若，则的最大值是 A． B． C． D． 例4.（1）（多选）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是 A．若，则点是边的中点 B．若，则点在边的延长线上 C．若，则点是的重心 D．若，且，则的面积是面积的 （2）①设，，，，为共线的三点，为平面内的任一点，且，，证明：若，则． ②用①中的结论证明三角形的重心的性质：的三条中线，，相交于一点，且． 变式3.（1）设为所在平面内一点，若，则 A． B． C． D． （2）如图，圆是等边三角形的外接圆，点为劣弧的中点，则 A． B． C． D． 例5.（1）已知两个非零向量与不共线， ①若，，，求证：、、三点共线； ②试确定实数，使得与共线； 例6.（1）已知平行四边形中，若是该平面上任意一点，则满足． ①若是的中点，求的值； ②若、、三点共线，求证：． 变式4.（1）如图所示，在中，，，与相交于点，设，． ①试用向量，表示； ②过点作直线，分别交线段，于点，．记，，求证：为定值． 例7．（1）已知，，是三个非零向量，则下列等价推出关系成立的个数是 ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2）已知向量，满足：，，且，则的模等于 A． B．2 C． D．3 变式5.（1）（多选）设，，是任意的非零向量，且它们相互不共 ... ...
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