东莞市2014届高三理科数学模拟试题(二) 命题：胡佐华 审稿与校对：李名泰 一、选择题： 1. 已知全集,集合和集合中的元素共有( ) A．个 B．个 C．个 D．无穷多个 2. 若复数是纯虚数,则实数的值为( ) A． B． C． D．或 3. 已知等差数列的前项和为,且,,则该数列的公差( ) A． B． C． D． 4. 已知抛物线()的准线与圆相切,则的值为( ) A． B． C． D． 5. 若向量，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 6. 已知平面、和直线,给出条件:①；②；③；④；⑤.由这五个条件中的两个同时成立能推导出的是( ) A．①④ B．①⑤ C．②⑤ D．③⑤ 7. 若变量满足约束条件,则的取值范围是( ) A． B． C． D． 8. 对任意实数,定义运算,其中是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知,,并且有一个非零常数,使得,都有,则的值是 A. B. C. D. 二、填空题： (一)必做题(9～13题) 9. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示(均为 直角三角形)，则该三棱锥的俯视图的面积为 . 10. 二项式的展开式中常数项为_____. 11．执行如图2的程序框图，输出的 ． 12. 已知函数,则的值 等于 . 13. 已知的内角的对边分别为， 且,则的面积等 于_____. （二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题 全答的,只计前一题的得分） 14.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线的方程是，以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，在直角坐标系中，直线 的方程是.如果直线与垂直，则常数 ． 15.(几何证明选讲选做题)如图3,在中,,, 若,,,则的长为_____． 三、解答题： 16．(本题满分12分)设函数,． (1) 若,求的最大值及相应的的取值集合； （2）若是的一个零点,且,求的值和的最小正周期. 17．(本题满分12分) 某地为绿化环境，移栽了银杏树2棵，梧桐树3棵.它们移栽后的成活率分别为，每棵树是否存活互不影响，在移栽的5棵树中： （1）求银杏树都成活且梧桐树成活2棵的概率； （2）求成活的棵树的分布列与期望. 18.(本题满分14分)如图4,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,、分别为、的中点. (1) 求证:平面； (2) 求证:面平面； (3) 在线段上是否存在点,使得二面角 的余弦值为?说明理由. 19.(本题满分14分)设数满足：． (1)求证：数列是等比数列； (2)若，且对任意的正整数n，都有，求实数t的取值范围． 20.(本题满分14分)已知定点,,动点,且满足成等差数列. (1) 求点的轨迹的方程； (2) 若曲线的方程为(),过点的直线与曲线相切,求直线被曲线截得的线段长的最小值. 21.(本题满分14分) 已知函数满足如下条件：当时，，且对任意，都有． （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）求当，时，函数的解析式； （3）是否存在，，使得等式成立？若存在就求出（），若不存在，说明理由． 东莞市2014届高三理科数学模拟试题(二) 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B C A D C D 二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 9．； 10．； 11．3； 12．； 13.； 14．； 15. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．【解析】(1) 当时,， 而,所以的最大值为, 此时,,即,, ∴取最大值时相应的的集合为 （2）依题意,即,, 整理,得, 又,所以,, 而,所以,,所以,的最小正周期为. 17.【解析】（1）设表示“银杏树都成活且梧桐树成活2棵” 设表示“银杏树成活棵”；；； 表示“梧桐树成活棵”；；；； （2）可能的取值： ；； 同理：；；； ∴的分布列为： 0 1 2 3 4 5 ∴ 18.【解析】(1)证明:连结，由正方形性质可知, 与相交于的中点, 也为中点,为中点. 所以在中,// 又平面,平面, 所以平面 (2)证明:因为平面平面, 平面面 为正方形,,平面,所以 ... ...
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