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课件网) 第十八章 平行四边形 18.1.2平行四边形的判定 第三课时 三角形的中位线 1.理解三角形中位线的概念,掌握三角形中位线定理的内容. 2.进一步发展推理论证的能力. 探索并证明三角形中位线定理. 三角形中位线定理的灵活应用. 【学习目标】 【学习重点】 【学习难点】 复习旧知 引入新课 从边来判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形; 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 从角来判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 从对角线来判定 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 温故知新 平行四边形的判定方法: □ ABCD (1) AB∥CD,BC∥AD. (2) AB = CD,BC = AD. (4)∠A = ∠C ,∠B = ∠D. (5) AO = OC, BO = OD. (3) AB∥CD,AB = CD. A B C D O 回顾与联想 平行四边形的判定方法: 现有一张三角形纸片,你能通过裁剪,将它拼成一个平行四边形吗? 问题1:需要把三角形剪成几块? 问题2:如何将剪开的部分拼成一个平行四边形? A B C D E F 创设情境 合作交流 探索新知 A B C D E F 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形的中位线 画出△ABC 中所有的中位线. 画出三角形的所有中线并说出中位线和中线的区别. 连接线的动画用“擦除” 点E斜体 在△ABC 中,中位线DE 和边BC 什么关系 DE∥BC A B C D E DE = BC 观察猜想 数量关系: 位置关系: DE 和边BC 关系 一个空格就可以了 已知,如图,D、E 分别是△ABC 的边AB、AC 的中点. 求证:DE∥BC,DE = BC. A B C D E 探究思考 互相平分 倍长DE 平行四边形 A B C D E F 探究思考 构 造 证明: 延长DE 到F,使EF = DE. 连接AF、CF、DC . ∵ AE = EC,DE = EF , ∴ 四边形ADCF 是平行四边形. ∴ 四边形BCFD 是平行四边形. ∴ CF∥AD 且CF = AD . ∴ CF∥BD 且CF = BD . A B C D E F ∴ DF∥BC 且DF = BC . 又∵DE = DF. ∴ DE∥BC 且DE = BC . 证法一 A B C D E F ∵ DE = EF、∠AED = ∠CEF、AE = EC, ∴ △ADE≌△CFE, 证明:如图,延长DE 到F,使EF = DE,连结CF. ∴ AD = FC 、∠A = ∠ECF.∴ AB∥FC. 又AD = DB, ∴ BD∥CF且BD = CF ∴ 四边形BCFD 是平行四边形. ∴ DF∥BC,DF = BC,即DE∥BC, 位置关系 数量关系 2DE = BC 又∵ DE = DF,∴ DE = BC. 证法二 还有另外的证法吗? DE 是△ABC 的中位线. A B C D E 三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于三角形的第三边, 并且等于第三边的一半. { 定义: 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. ∵DE 是△ABC 的中位线 ∴DE∥BC,DE = BC. 应用迁移 巩固提高 ∴ EF∥AC,EF = AC. 例1:如图,在四边形ABCD 中,E、F、G、H 分别是AB、BC、 CD、DA 的中点.四边形EFGH 是平行四边形吗?为什么? A B C D E F G H 解:四边形EFGH 是平行四边形. 连接AC, 在△ABC 中, ∵ E、F 分别是AB、BC 边的中点, 即EF 是△ABC 的中位线. ∴ EF∥HG,EF = HG. ∴ 四边形EFGH 是平行四边形. 在△ADC 中,同理可得, HG∥AC,HG = AC, 证明:连接DE、DF, 例2:已知,如图AD 是△ABC 的中线,EF 是中位线,求证: AD 与EF 互相平分. A B C D E F ∵ AD 是△ABC 的中线,EF 是中位线, ∴ 点D、E、F 分别是BC、AB、AC 的中点. ∴ DE、DF 也是△ABC 的中位线, ∴ DE∥AC,DF∥AB(三角形的中位线的定理), ∴ 四边形AEDF 是平行四边形(平行四边形的定义), ∴ AD 与EF 互相平分(平行四边形的对角线互相平分). 例3:如图,在四边形ABCD 中,AB = CD,E、F 分别是BC、AD 的 中点,连结EF 并延长,分别与BA,CD 的延长线交于点M、N, 证明:∠BME = ∠CNE. 证明:连 ... ...