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课件网) 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 第七章 §7.1 复数的概念 学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件. 导语 1545年，意大利数学家、物理学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x(10－x)＝40的根，他求出的根为5＋ 和5－ ，积为25－(－15)＝40.由于这只是单纯从形式上推广而来，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的.这样的结果令他大为不解，甚至感到有些恐慌.负数真的不能开平方吗？ 课时对点练 一、复数的有关概念 二、复数的分类 三、复数相等的充要条件 随堂演练 内容索引 复数的有关概念 一 问题 我们知道，方程x2＋1＝0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 提示 为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使得i2＝－1. 1.定义：我们把形如 的数叫做复数，其中i叫做 ，满足i2＝ . 2.表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的 ，b叫做复数z的 . 3.数集 (1)定义：全体复数所构成的集合叫做 . (2)表示：通常用大写字母 表示，即C＝{a＋bi|a，b∈R}. 知识梳理 a＋bi(a，b∈R) 虚数单位 －1 实部 虚部 复数集 C (1)i2＝－1. (2)i和实数之间能进行加法、乘法运算. (3)a，b∈R. 注意点： 已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于 A.－3 B.3 C.－1 D.1 例1 √ 复数z1＝1＋3i的实部为1，复数z2＝－1－ai的虚部为－a，则－a＝1，解得a＝－1. 在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 反思感悟 若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为 跟踪训练1 √ 复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2. 复数的分类 二 知识梳理 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) (b＝0)， (b≠0)(当 时为纯虚数). 实数 虚数 a＝0 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 当m为何实数时，复数z＝ ＋(m2－2m－15)i是下列数？ (1)虚数； 例2 即m≠5且m≠－3时，z是虚数. (2)纯虚数； 即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数. (3)实数. 延伸探究 若本例中条件不变，当m为何值时，z>0. 因为z>0，所以z为实数，需满足 复数分类问题的求解方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部. (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为a＋bi(a，b∈R)的形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可. 反思感悟 (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则： ①z为实数 b＝0； ②z为虚数 b≠0； ③z为纯虚数 a＝0且b≠0. 反思感悟 若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为 A.1 B.2 C.1或2 D.－1 跟踪训练2 √ 根据复数的分类知，需满足 所以a＝2. 复数相等的充要条件 三 知识梳理 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di .特别地，a＋bi＝0 . a＝c且b＝d a＝b＝0 (1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值. 例3 由复数相等的充要条件，得 (2)若关于x的方程3x2－ x－1＝(10－x－2x2)i有实数根，求实数a的值. 设方程的实数根为x＝m， 反思感悟 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的a＋bi(a，b∈R)的形式 ... ...
