专题01 集合、常用逻辑用语、不等式 （选填压轴题） 一、集合的新定义题 ①乘法运算封闭 ②“群”运算 ③“环”运算 ④“”运算 ⑤“”运算 ⑥戴德金分割 ⑦“类” ⑧差集运算 ⑨“势” ⑩“均衡集” “好集” 二、逻辑推理 ①充分性必要性 ②逻辑推理 三、不等式 ①作差法 ②作商法 ③基本不等式 一、集合的新定义题 1．（2022·上海市进才中学高三期中）设S是整数集Z的非空子集，如果任意的，有，则称S关于数的乘法是封闭的.若、是Z的两个没有公共元素的非空子集，．若任意的，有，同时，任意的，有，则下列结论恒成立的是( ) A．、中至少有一个关于乘法是封闭的 B．、中至多有一个关于乘法是封闭的 C．、中有且只有一个关于乘法是封闭的 D．、中每一个关于乘法都是封闭的 【答案】A 若为奇数集，为偶数集，满足题意，此时与关于乘法都是封闭的，排除B、C； 若为负整数集，为非负整数集，也满足题意，此时只有关于乘法是封闭的，排除D； 从而可得、中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确. 故选：A． 2．（2022·全国·高三专题练习）非空集合，且满足如下性质：性质一：若，，则；性质二：若，则.则称集合为一个“群”以下叙述正确的个数为（ ） ①若为一个“群”，则必为无限集； ②若为一个“群”，且，，则； ③若，都是“群”，则必定是“群”； ④若，都是“群”，且，，则必定不是“群”； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 ①：设集合，显然，符合性质一，同时也符合性质二，因此集合是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确； ②：根据群的性质，由可得：，因此可得，故本叙述是正确； ③：设， 若，一定有，因为，都是“群”， 所以，因此，若，所以， ，故本叙述正确； ④：因为，，一定存在且，且， 因此且，所以，因此本叙述正确， 故选：C 3．（2022·全国·高三专题练习）“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①，，有 ②如，，，有； ③在中有一个元素，对，都有，称为的单位元； ④，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元．此时称（，*）为一个群． 例如实数集和实数集上的加法运算“”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ） A．，则为一个群 B．，则为一个群 C．，则为一个群 D．{平面向量}，则为一个群 【答案】B A. ，两个有理数的和是有理数，有理数加法运算满足结合律，为的单位元，逆元为它的相反数，满足群的定义，则为一个群，所以该选项正确； B. ，为的单位元，但是，当时，不存在唯一确定的，所以不满足④，则不为一个群，所以该选项错误； C. ，满足①②，为的单位元满足③，是-1的逆元，1是1的逆元，满足④，则为一个群，所以该选项正确； D. {平面向量}，满足①②，为的单位元，逆元为其相反向量，则为一个群，所以该选项正确. 故选：B 4．（2022·全国·高三专题练习）设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①，②若，则且，那么称F是U的一个环，下列说法错误的是（ ） A．若，则是U的一个环 B．若，则存在U的一个环F，F含有8个元素 C．若，则存在U的一个环F，F含有4个元素且 D．若，则存在U的一个环F，F含有7个元素且 【答案】D 对A，由题意可得满足环的两个要求，故F是U的一个环，故A正确，不符合题意； 对B，若，则U的子集有8个，则U的所有子集构成的集合F满足环的定义，且有8个元素，故B正确，不符合题意； 对C，如满足环的要求，且含有4个元素，，故C正确，不符合题意. 对D，，，，， ，， 再加上，中至少8个元素，故D错误，符合题意. 故选：D. 5．（2022·全国·高三专题练习）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知 ... ...
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