山东省济南外国语学校八年级奥术三级跳（2013数学冬令营培训材料）第三跳（解题方法）：第十讲：专题复习：因式分解、分式和根式（50分钟训练+80分钟评讲）

第十讲：专题复习：因式分解、分式和根式 【知识梳理】 一、因式分解： 1、常用的公式： 平方差公式：； 完全平方公式：； ； ； ； 立方和（差）公式：； ； 2、许多多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉以下的常用结果： ； ； ； ； ； 。 二、分式： 1、分式的意义 形如（为整式），其中B中含有字母的式子叫分式。 当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。 2、分式的性质 分式的基本性质： （其中M是不为零的整式）。 分式的符号法则： 分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。 倒数的性质： ；若，则（，是整数）； 。 3、分式的运算 分式的运算法则有：； （是正整数）。 4、分式的变形 分式的基本性质是分式变形的理论根据之一， 分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式），拆项法（即分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。 三、二次根式： 1、当时，称为二次根式，显然。 2、二次根式具有如下性质： （1）； （2） （3）； （4）。 3、二次根式的运算法则如下： （1）； （2）。 4、设，且不是完全平方数，则当且仅当时， 。 【例题精讲】 【例1】分解因式： 【巩固】分解因式： 1、； 2、； 【例2】已知是一个三角形的三边，则的值是（ ） A.恒正 B.恒负 C.可正可负 D.非负 3、为何值时，多项式能分解成两个一次因式的积？ 【例3】已知是实数，且，问之间有怎样的关系？请推导。 【专题训练】 1、已知，求的值为_____； 2、多项式的一个因式是，试确定的值为_____； 3、设，求的值。 4、若，且设，则_____ 5、已知，，，则_____； 6、已知，，，且，则 _____ 7、当变化时，分式的最小值为_____ 8、设，则_____； 9、已知实数满足，则_____； 10、化简_____； 11、已知，则_____ 12、设的整数部分为，小数部分为，则_____； 13、设等式在实数范围内成立，其中两两不同，则_____； 14、使等式成立的整数对的个数为_____； 15、设正整数满足，则这样的的取值有_____组； 16、求和： 17、已知，化简。 18、若，计算的值。 19、计算： 20、设，它的小数部分为P，求的值。