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课件网) 2.1 复数的加法与减法 必备知识·自主学习 导思 1.复数加法的法则是什么 2.复数加法与减法的几何意义是什么 复数的加、减法法则及几何意义与运算律 z1,z2,z3∈C,设 , 分别与复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)相对应,且 , 不共线 加法 减法 运算 法则 z1+z2=(a+c)+(b+d)i z1-z2= _____ (a-c)+(b-d)i 几何 意义 复数的和z1+z2与向量 + = 的坐标对应 复数的差z1-z2与向量 - = 的坐标对应 运算律 交换律 z1+z2=z2+z1 结合律 (z1+z2)+z3=_____ z1+(z2+z3) 【思考】 若复数z1,z2满足z1-z2>0,能否认为z1>z2 提示:不能,例如可取z1=3+2i,z2=2i. 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)复数加法的运算法则类同于实数的加法法则. ( ) (2)复数与复数相加减后结果为复数. ( ) (3)复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义. ( ) 答案:(1) √ (2)√ (3) √ 2.(教材二次开发:例题改编)复数(1-i)-(2+i)+3i等于 ( ) A.-1+i B.1-i C.i D.-i 【解析】选A.(1-i)-(2+i)+3i=(1-2)+(-i-i+3i)=-1+i. 3.设z1=-6-2i,z2=6-18i,其中i为虚数单位.若z=z1+z2,则z在复平面上对应点的坐标为_____. 【解析】z=z1+z2=-6-2i+6-18i=-20i, 则z在复平面上对应点的坐标为(0,-20). 答案:(0,-20) 关键能力·合作学习 类型一 复数的加、减运算(数学运算) 【题组训练】 1.计算:(2-3i)+(-4+2i)=_____. 2.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,则|z1+z2|=_____. 【解析】1.(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i. 答案:-2-i 2.z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y- 2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i, 所以 解得x=1,y=0, 所以z1=3-2i,z2=-2+i,则z1+z2=1-i, 所以|z1+z2|= . 答案: 【解题策略】 复数的加减法的运算技巧 复数与复数相加减,相当于多项式加减法的合并同类项,将两个复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减). 【补偿训练】 1.(2020潍坊高一检测)若(-3a+bi)-(2b+ai)=3-5i,a,b∈R,则a+b= ( ) 【解析】选B.(-3a+bi)-(2b+ai)=(-3a-2b)+(b-a)i=3-5i,所以 解得a= ,b=- ,故有a+b=- . 2.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.-1 【解析】选D.z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.因为z1+z2所对应的点在实轴上,所以1+a=0,所以a=-1. 类型二 复数的加、减运算的几何意义(直观想象) 【典例】1.复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1,|z1+z2|= .则|z1-z2|=_____. 2.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求, (1) 所表示的复数, 所表示的复数; (2)对角线 所表示的复数; (3)对角线 所表示的复数及 的长度. 【思路导引】利用复数的几何意义以及向量的运算求解. 【解析】1.由|z1|=|z2|=1,|z1+z2|= ,知z1,z2,z1+z2对应的点是一个边长为1 的正方形的三个顶点,所求|z1-z2|是这个正方形的一条对角线长,所以|z1- z2|= . 答案: 2.(1) 所以 所表示的复数为-3-2i. 因为 所以 所表示的复数为-3-2i. (2)因为 所以 所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)对角线 它所对应的复数z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,| |= 【解题策略】 1.用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 (1)形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理. (2)数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中. 2.常见结论 在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB 为平行四边形;若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z ... ...
