中小学教育资源及组卷应用平台 第三十七讲 直线与圆，圆与圆的位置关系 【考纲解读】 理解直线与圆相交，相切和相离的定义，掌握判断直线与圆位置关系代收法和几何法的基本方法，能够判断给定条件下直线与圆的位置关系； 理解圆与圆相交，内切，外切，内含和外离的定义，掌握判断圆与圆位置关系的基本方法，能够判断给定条件下圆与圆的位置关系。 【知识精讲】 一、直线与圆的位置关系： 1、直线与圆相交，相切和相离的定义： （1）直线与圆相交的定义：若直线与圆有且仅有两个公共点，则称直线与圆相交； （2）直线与圆相切的定义：若直线与圆有且仅有一个公共点，则称直线与圆相切； （3）直线与圆相离的定义：若直线与圆没有公共点，则称直线与圆相离。 2、判断直线与圆位置关系的基本方法： （1）代数判定法： 设圆的方程为：（R为非负实数），直线的方程是：y=kx+m。 由联立方程组 ，（1+）-2［a+(m-b)］x++ y=kx+m ，-=0。①△=4-4（1+）〔+-］ >0直线与圆相交；②△=4-4（1+）〔+-〕=0直线与圆相切；③△=4-4（1+）〔+-〕<0直线与圆相离。 （2）几何判定法： 设圆心（a，b）到直线y=kx+m的距离为d，①dR直线与圆相离。 圆与圆的位置关系： 圆与圆相交，内切，外切，内含和外离的定义： 圆与圆相交的定义：若两圆有且仅有两个公共点，则称两圆相交； 圆与圆内切的定义：若两圆有且仅有一个公共点，且其中一个圆在另一个圆的内部，则称两圆内切； 圆与圆外切的定义：若两圆有且仅有一个公共点，且两个圆除公共点之外没有其他公共部分，则称两圆外切； 圆与圆内含的定义：若两圆没有公共点，且其中一个圆在另一个圆的内部，则称两圆内含； 圆与圆外离的定义：若两圆没有公共点，且两个圆也没有其他公共部分，则称两圆外离。 2、判断圆与圆位置关系的基本方法： （1）代数判定法： 设两圆的方程为：圆：=，圆：=，联立两圆方程得到关于x（或y）的一元二次方程，①△>0两圆相交；②△=0两圆内切（或外切）；③△<0两圆内含（或外离）。 （2）几何判定法： 设圆：=，圆：=，两圆的圆心距为d，①|-| + 两圆外离。 【探导考点】 考点1直线与圆位置关系的判断：热点①已知直线和圆的方程，判断直线与圆的位置关系； 热点②已知直线与圆的位置关系，求直线方程中参数的值（或取值范围）； 考点2圆与圆位置关系的判断：热点①已知两圆的方程，判断两圆的位置关系；热点②已知两圆的位置关系，求圆方程中参数的值（或取值范围）； 考点3直线与圆的综合问题：热点①已知直线和圆的方程，求弦长；热点②已知直线与圆相交，求直线方程中参数的取值范围；热点③直线与圆相切的问题。 【典例解析】 【典例1】解答下列问题： 1、设直线kx-y+1=0被圆O：=4所截弦的中点的轨迹为C，则曲线C与直线x+y-1=0的位置关系为（ ） A 相交 B 相切 C 相离 D 不确定 2、与曲线=（y-1）(3-y)相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线共有 条； 3、已知直线l：2mx-y-8m-3=0和圆C：-6x+12y+20=0。 （1）mR时，证明：l与C总相交； （2）m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此时弦长。 『思考问题1』 （1）【典例1】是直线与圆的位置关系判定的问题，解决这类问题需要掌握判定直线与圆位置关系的基本方法； （2）判定直线与圆的位置关系主要有两种方法：①代数方法；②几何方法； （3）代数方法的基本方法是：①由直线方程与圆方程联立消去y得到关于x的一元二次方程；②求出一元二次方程判别式的值；③根据一元二次方程判别式的值确定一元二次方程解的情况；④得出结果； （4）几何方法的基本方法是：①把圆方程化为标准方程；②确定圆心坐标 ... ...
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