三垂线定理[下学期]

课件20张PPT。三垂线定理 思考平面内有没有直线与平面的斜线PO垂直？ 什么叫平面的斜线、垂线、射影？斜线斜足垂足垂线斜线段在平面上的射影 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。三垂线定理已知 PA、PO分别是平面?的垂线、斜线，AO是PO在平面?上的射影。a? ?，a⊥AO。求证： a⊥PO证明：∵PA⊥?,a ? ?∴a⊥平面PAOPA ⊥aa⊥PO∴∵AO⊥a∴直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。注意：如果将定理中 “在平面内”的条件 去掉，结论仍然成立 吗？ 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。 已知：PA，PO分 别是平面? 的垂线和斜 线，AO是PO在平面? 的射影,a ? ? ,a ⊥PO三垂线定理的逆定理成立吗？求证：a ⊥AO如何证明？PCBA例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC证明：∵ P 是平面ABC 外一点 PA⊥平面ABC ∴PC是平面ABC的斜线 ∴AC是PC在平面ABC上的射影 ∵BC?平面ABC 且AC ⊥ BC ∴由三垂线定理得 PC ⊥ BC例2已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， PMCABBC⊥AM证明:∵ PB=PC,M是BC的点PM ⊥BC∵PA⊥平面PBC∴PM是AM在平面PBC上的射影求证：BC⊥AM∴∴课堂练习： 1、判定下列命题是否正确 (1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面 α内的射影，则a⊥b。 ( ) 定理的关键找“平面”，在与平面内直线垂直中斜线、射影可相互替换 强调： (2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线， 且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。 ( ) ××三垂线定理练2：PA⊥正方形ABCD所在平面 求证：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD证明:AO⊥BDAO是PO在ABCD上的射影PO⊥BDPC⊥BD∵∵∵PA⊥正方形ABCD所在平面∴同理练3：如图所示，在正方体AC1中，求证：A1C⊥BC1 ∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 C B A1 B1 C1A D D1证明：由三垂线定理知A1C⊥BC1 ∵A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C正方体的面对角线垂直与它异面的体对角线三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。课堂小结AaPoα 线射垂直，线斜垂直 线斜垂直，线射垂直 例1、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C∵AC在平面AC内，∴BD1⊥AC 证明：连结BD，请同学思考：如何证明D1B⊥AB1 连结A1B∵AC⊥BD 又DD1⊥平面ABCD ∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影 ∴BD1⊥平面AB1C例2、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？ 解：在道边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°再在道边取一点D，使水平角CDB等于45°，测得C、D的距离等于20m三垂线定理 ∵BC是AC的射影 且CD⊥BC ∴CD⊥AC ∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20m ∴BC=20m， 因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。三垂线定理例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等， 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知：∠BAC在平面?内，点P??，PE⊥AB，PF⊥AC， PO⊥? ，垂足分别是E、F、O，PE=PF 求证：∠BAO=∠CAO分析： 要证 ∠BAO=∠CAO 只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥ACP ???证明：∵ PO ⊥? ∴OE、OF是PE、PF在?内的射影∵ PE=PF∴ OE=OF由OE是PE的射影且PE⊥AB??OE⊥AB同理可得OF⊥AC结论成立O F E 例4 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.证明：作AO⊥平面BCD于点O， 连接BO，CO，DO，则BO， CO，DO分别为AB，AC， AD在平面BCD上的射影。O∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，同理CO⊥BD，于是O是△B ... ...