课件编号157851

三垂线定理[下学期]

日期:2024-06-16 科目:数学 类型:高中课件 查看:24次 大小:134527Byte 来源:二一课件通
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垂线,定理,学期
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课件20张PPT。三垂线定理 思考平面内有没有直线与平面的斜线PO垂直? 什么叫平面的斜线、垂线、射影?斜线斜足垂足垂线斜线段在平面上的射影 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直,那么,它就和这条斜线垂直。三垂线定理已知 PA、PO分别是平面?的垂线、斜线,AO是PO在平面?上的射影。a? ?,a⊥AO。求证: a⊥PO证明:∵PA⊥?,a ? ?∴a⊥平面PAOPA ⊥aa⊥PO∴∵AO⊥a∴直线a 在一定要在平面内,如果 a 不在平面内,定理就不一定成立。注意:如果将定理中 “在平面内”的条件 去掉,结论仍然成立 吗? 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么,它也和这条斜线的射影垂直。 已知:PA,PO分 别是平面? 的垂线和斜 线,AO是PO在平面? 的射影,a ? ? ,a ⊥PO三垂线定理的逆定理成立吗?求证:a ⊥AO如何证明?PCBA例1 已知P 是平面ABC 外一点, PA⊥平面ABC ,AC ⊥ BC, 求证: PC ⊥ BC证明:∵ P 是平面ABC 外一点 PA⊥平面ABC ∴PC是平面ABC的斜线 ∴AC是PC在平面ABC上的射影 ∵BC?平面ABC 且AC ⊥ BC ∴由三垂线定理得 PC ⊥ BC例2已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,M是BC的中点, PMCABBC⊥AM证明:∵ PB=PC,M是BC的点PM ⊥BC∵PA⊥平面PBC∴PM是AM在平面PBC上的射影求证:BC⊥AM∴∴课堂练习: 1、判定下列命题是否正确 (1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面 α内的射影,则a⊥b。 ( ) 定理的关键找“平面”,在与平面内直线垂直中斜线、射影可相互替换 强调: (2)若a是平面α的斜线,b是平面α内的直线, 且b垂直于a在β内的射影,则a⊥b。 ( ) ××三垂线定理练2:PA⊥正方形ABCD所在平面 求证:PO⊥BD,PC⊥BDPOABCD证明:AO⊥BDAO是PO在ABCD上的射影PO⊥BDPC⊥BD∵∵∵PA⊥正方形ABCD所在平面∴同理练3:如图所示,在正方体AC1中,求证:A1C⊥BC1 ∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 C B A1 B1 C1A D D1证明:由三垂线定理知A1C⊥BC1 ∵A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C正方体的面对角线垂直与它异面的体对角线三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么,它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理: 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么,它就和这条斜线垂直。课堂小结AaPoα 线射垂直,线斜垂直 线斜垂直,线射垂直 例1、如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,连结BD1,AC,CB1,B1A,求证:BD1⊥平面AB1C∵AC在平面AC内,∴BD1⊥AC 证明:连结BD,请同学思考:如何证明D1B⊥AB1 连结A1B∵AC⊥BD 又DD1⊥平面ABCD ∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影 ∴BD1⊥平面AB1C例2、道旁有一条河,彼岸有电塔AB,高15m,只有测角器和皮尺作测量工具,能否求出电塔顶与道路的距离? 解:在道边取一点C,使BC与道边所成水平角等于90°再在道边取一点D,使水平角CDB等于45°,测得C、D的距离等于20m三垂线定理 ∵BC是AC的射影 且CD⊥BC ∴CD⊥AC ∵∠CDB=45°,CD⊥BC,CD=20m ∴BC=20m, 因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。三垂线定理例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等, 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知:∠BAC在平面?内,点P??,PE⊥AB,PF⊥AC, PO⊥? ,垂足分别是E、F、O,PE=PF 求证:∠BAO=∠CAO分析: 要证 ∠BAO=∠CAO 只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥ACP ???证明:∵ PO ⊥? ∴OE、OF是PE、PF在?内的射影∵ PE=PF∴ OE=OF由OE是PE的射影且PE⊥AB??OE⊥AB同理可得OF⊥AC结论成立O F E 例4 在四面体ABCD中,已知AB⊥CD,AC⊥BD 求证:AD⊥BC∴DO⊥BC,于是AD⊥BC.证明:作AO⊥平面BCD于点O, 连接BO,CO,DO,则BO, CO,DO分别为AB,AC, AD在平面BCD上的射影。O∵AB⊥CD,∴BO⊥CD,同理CO⊥BD,于是O是△B ... ...

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