人教B版选修一2.6双曲线及其方程 （共18题） 一、选择题（共11题） 双曲线的方程为 ，则其离心率为 A． B． C． D． “”是“方程 表示双曲线”的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D． 已知 是双曲线 的右焦点， 是 左支上一点，，当 的周长最小时，则点 的纵坐标为 A． B． C． D． 在平面直角坐标系 中，双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ，，点 是双曲线右支上一点，且 为等边三角形，则双曲线 的离心率为 A． B． C． D． 已知双曲线的中心在原点，两个焦点 ， 分别为 和 ，点 在双曲线上，且 ， 的面积为 ，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 已知 为坐标原点，设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点， 为双曲线上任一点，过点 作 的平分线的垂线，垂足为 ，则 A． B． C． D． 中，，，点 在双曲线 上，则 A． B． C． D． 设双曲线 的一个焦点为 ，且离心率等于 ．若该双曲线的一条渐近线被圆 截得的弦长为 ，则该双曲线的标准方程为 A． B． C． D． 已知第一象限内的点 既在双曲线 上，又在抛物线 上，设 的左、右焦点分别为 ，，若 的焦点为 ，且 是以 为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，过 作圆 的切线，交双曲线右支于 ，若 ，则 的渐近线方程为 A． B． C． D． 二、填空题（共4题） 已知双曲线 的焦距为 ，则 ． 已知双曲线过点 ，且渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程为 ． 从区间 内任选一个数 ，则方程 表示的是双曲线的概率为 ． 若双曲线的一条渐近线经过点 ，则其离心率等于 ． 三、解答题（共3题） 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1) 虚轴长为 ，离心率为 ； (2) 焦距为 ，且经过点 ； (3) 经过两点 和 ． 已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，且双曲线 的实轴长为 ，． (1) 求双曲线 的标准方程； (2) 设点 是双曲线 上任意一点，且 ，求 ． 已知点 ， 是平面上的两点，动点 满足 ． (1) 求点 的轨迹方程； (2) 若 ，求点 的坐标． 答案 一、选择题（共11题） 1. 【答案】B 【解析】因为双曲线的方程为 ， 所以 ，，因此 ， 所以离心率为 ． 故选B． 2. 【答案】A 【解析】如果方程 表示双曲线，那么 ；而如果 ，由于 的值不确定（比如 ），故无法得出方程 表示双曲线． 所以“”是“方程 表示双曲线”的必要不充分条件． 3. 【答案】D 4. 【答案】B 【解析】设双曲线 的左焦点为 ，由双曲线 的方程可知 ，， 所以 ， 所以 ，所以左焦点 ，右焦点 ． 因为 ， 所以当 的周长最小时， 最小．由双曲线的定义得 ， 所以 ，又 ，当且仅当 ，， 三点共线时，等号成立， 所以 的周长 ．此时，直线 的方程为 ，将其代入双曲线方程得 ，解得 （舍）或 ，由 得 ． 5. 【答案】A 【解析】如图示，连接 ． 因为 为等边三角形， 所以 ， 所以 ． 因为 ， 所以 ． 又 ， 所以 ， 所以 ． 在 中，， 所以 ． 由双曲线的定义可得：，即 ， 所以离心率 ． 故选：A． 6. 【答案】C 【解析】由题可得 得 ，即 ，解得 ．又因为 ，所以 ，所以双曲线的方程为 ． 7. 【答案】A 【解析】不妨在双曲线右支上取点 ，延长 ，，交于点 ，由角平分线性质及 可知 ．根据双曲线的定义得， 从而 ，在 中， 为其中位线，故 ． 8. 【答案】D 【解析】在 中，，，， 为 外接圆的半径， 所以 ． 又因为 ， 所以 ． 9. 【答案】A 10. 【答案】A 【解析】因为 的左、右焦点分别为 ，， 的焦点为 ， 所以抛物线的准线方程为：， 又因为 是以 为底边的等腰三角形， 过 作 垂直准线 ，如图所示： 则 ， 所以四边形 是正方形， 则 是等腰直角三角形， 所以 ， 所以 ， ... ...
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