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课件网) 4.7 数学建模：生长规律的描述 日常生活中有很多现象都可以借助函数模型加以描述,下面给大家呈现一个借助指数函数等建立模型的实例. 数学模型的步骤： 1. 发现问题、提出问题; 2.分析问题、建立模型; 3.确定参数、计算结果; 4.验证结果、分析模型. 发现问题、提出问题 生长规律的描述 生物的生长发育是一个连续的过程,但不同的时间段可能有不同的增长速度. 例如,卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》指出,我国7岁以下女童身高(长)的中位数如下表所示(0岁指刚出生时),这些数据可用下图所示： 年龄/岁 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 身高/cm 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3 年龄/岁 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 身高/cm 99.4 103.1 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4 从数据和图可以看出,我国7岁以下女童的身高的增长速度越来越慢. 再例如,农业专家在研究某地区玉米在不同生长阶段的植株高度时,得到了以下数据,这些数据可用下图直观表示： 生长阶段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 植株高度/cm 0.67 1.75 3.69 7.73 16.55 32.55 53.38 97.46 153.6 174.9 180.79 从具体的数据和图都可以看出,玉米植株高度的增长,具有先慢后快、然后又慢的规律. 分析问题、建立模型 要描述生长规律,实际上是要描述当一个量(记为x)变化时,另外一个量(记为y)会怎样变化.例如,随着年龄的增长,身高将怎样变化;随着阶段的不同,植株高度将怎样变化;等等. 不难想到,我们可以借助函数y=f(x)来描述生长规律. 因为从生长规律来说,当x增大时,y是增大的,这说明函数y=f(x)在指定的范围内应该是增函数;又因为不同的时间段有不同的增长速度,所以函数y=f(x)不能是一次函数. 为了简单起见,可以假设函数的变量x,y都是连续变化的(也就是说可以取某个区间内的任意值). 当然根据不同对象的生长规律,可以选择不同的函数形式. 例如,对于前述我国7岁以下女童身高来说,考虑到生长速度一开始比较快,后来慢慢变缓慢,而我们熟悉的函数中,幂函数y=具有这样的性质,因此,生长规律可用g(x)=a+b来描述. 类似地,对于前述玉米植株高度来说,增长速度一开始比较慢,后来逐渐加快,而我们熟悉的函数中,指数函数y=ax(a>1)具有这种性质,因此生长的规律可用h(x)=aebx来描述. 确定参数、计算结果 对于描述我国7岁以下女童身高的函数g(x)=a+b来说,为了确定a、b的值可以在已有的数据中选择两对代入函数式,然后列方程组求解. 例如,如果选择的是g(0)=49.7与g(4)=103.1,则有 由此可解得,a=26.7,b=49.7,所以 g(x)=26.7+49.7. 类似地,也可选择已有数据中的两对,来确定函数h(x)=aebx中的a、b. 例如,如果选择的是h(2)=1.75与h(8)=103.1,则有 由此可解得,a≈0.458,b≈0.670,所以h(x)=0.45e0.670x. 验证结果、分析模型 因为在求解时,我们都只用到了部分已有的数据,因此可以利用其他数据来检验所建立模型的优劣. 例如,对于描述我国7岁以下女童身高的函数g(x)=26.7+49.7来说, 计算函数值,可以得到以下数据的对比表： 年龄/岁 0.5 1 1.5 2 2.5 3 身高/cm 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3 g(x) 68.6 76.4 82.4 87.5 91.9 95.9 由表可以看出,误差都在2cm以内,因此g(x)=26.7+49.7能够较好的反映我国7岁以下女童的身高生长规律. 年龄/岁 3.5 4.5 5 5.5 6 6.5 身高/cm 99.4 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4 g(x) 99.7 106.3 109.4 112.3 115.1 117.8 根据玉米植株高度函数h(x)=0.45e0.670x来说,可以得到以下数据的对比表： 生长阶段 1 3 4 5 6 7 9 10 11 植株高度/cm 0.67 3.69 7.73 16.55 32.55 53.38 153.6 174.9 180.79 h(x) 0.90 3.42 6.68 13.05 25.51 49.85 190.40 372.08 727.14 不难看出,在前面7个阶段内,h(x)的函数值与实际值之间的误差不 ... ...
