7.3.1离散型随机变量的均值 课件（共17张PPT）

第七章 随机变量及其分布列 7.3.1离散型随机变量的均值 学习目标 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的数学期望（均值）的概念； 2.会用离散型随机变量“均值”解决相关实际问题 重点：离散型随机变量均值意义、性质及应用； 难点：对随机变量均值的理解 一 复习 引入 离散型随机变量的分布列： 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2， ??? ，xn，我们称X取每一个值xi的概率 P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n 为X的概率分布列 (1)Pi ≥0，i=1，2， …，n， (2) P1+P2+ … +Pn =1 ? X x1 x2 ??? xn P p1 p2 ??? pn 二 讲新课 问题1: 甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示 {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为n1n ,n2n,n3n, n4n. 甲n次射箭射中的平均环数为 ：x=7×n1n+8×n2n+9×n3n+10×n4n ? 当n足够大时，频率稳定于概率，所以x稳定于概率，所以????稳定于 7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9，这个平均值的大小可以反映甲的射箭水平。 同理，乙射中环数的平均值为 7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， ? X x1 x2 ??? xn P p1 p2 ??? pn 则称EX=x1p1+x2p2+x3p3+...+xnpn 为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望。 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数， 它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取 值的平均水平. ? 。 例1 在篮球比赛中, 罚球命中1次得1分, 不中得0分 . 如果某运动员罚球命中的概率为0.8 , 那么他罚球1次的得分X的均值是多少？ 分析：罚球命中与否有两个结果，命中时X=1，不中时X=0，因此随机变量X服从两点分布，因为P(X=1)=0.8 P(X=0)=0.2 所以E(X )=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.8+0×0.2 =0.8 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8 ? {21E4AEA4-8DFA-4A89-87EB-49C32662AFE0}???? 0 1 ???? 0.2 0.8 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么： E(X )=0×(1-p) + 1×p =p 例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值. 分析: 先求出X的分布列, 再根据定义计算X的均值. 解：X的可能值分别是1，2，3，4，5，6 P(X=k)= 16 , （ k=1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6. ）X的分布列为 因此 ,E(X)= 16?(1+2+3+4+5+6)=3.5 ? {21E4AEA4-8DFA-4A89-87EB-49C32662AFE0}X 1 2 3 4 5 6 P 16 16 16 16 16 16 问题： 如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化? 即E(X＋b)和E(aX)(其中a, b为常数)分别与E(X)有怎样的关系? 设X的分布列为P(X=xi)= pi ,（i=1 , 2 , 3 , … , n. ） 根据随机变量均值的定义， E(X+b)=(x1+b)p1+(x2+b)p2+…+(xn+b)pn =(x1p1+x2p2+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pn) =E(X)+b 即 E(X+b)=E(X)+b ? 类似地，可以证明： （2）E(aX)=aE(X) （3）E(aX+b)= aE(X)+b 例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名. 某嘉宾参加猜歌名节目, 猜对每首歌曲的歌名相互独立, 猜对三首歌曲A, B, C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示. ? 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 规则如下: 按照A,B,C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首. 求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值. 解：分别用A, B, C表示猜对歌曲A, B, C歌名的事件, A, B, C相互独立 X的可能值0，1000，3000，6000 P(X=0)=0.2, P(X=1000)=P(AB)=0.32, P(X=3000)=PABC=0.288, P(X=6000)=PABC=0.192, ? 。????的分布列如下表所示： X的均值????(????)=????×????.????+????? ... ...