中小学教育资源及组卷应用平台 中小学教育资源及组卷应用平台 专题21 椭圆 一、单选题 1．（2023·浙江宁波·统考二模）设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点弦问题，结合点差法可得，即可求离心率. 【详解】 如图，取的中点为，连接， 则由题意可得，， 所以相似，所以, 因为直线PQ，PF的斜率之积为， 所以, 设， 则有，两式相减可得， 即，即， 即，所以椭圆的离心率为， 故选:B. 2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的左焦点为，若椭圆上存在点P，使得线段与直线垂直垂足为Q，若，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理和椭圆定义，建立方程，然后求解椭圆的离心率即可. 【详解】设C的右焦点为，线段与直线垂直， 所以的斜率为，所以， 设，则，故， 在中，由余弦定理得，， 所以 所以， 所以， 又因为， 所以椭圆C的离心率为. 故选:A． 3．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据椭圆的离心率求出的值，对椭圆的焦点位置进行分类讨论，求出的值，即可求得椭圆的长轴长. 【详解】因为，所以，. ①若椭圆的焦点在轴上，则，可得，则， 此时，椭圆的长轴长为； ②若椭圆的焦点在轴上，则，可得，则， 此时，椭圆的长轴长为. 综上所述，椭圆的长轴长为或. 故选：D. 4．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）一名木匠准备制作一张椭圆形的餐桌台面，如图，他先将一根细绳（无弹性）的两端固定在钉子上，然后用笔撑直绳子，转圈画出的图形就是一个椭圆．如果图中的两个钉子之间的距离为，细绳长为，将绳子与钉子固定所用的绳长忽略不计，则过该椭圆的中心的弦中，最短弦长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合椭圆的定义求解即可. 【详解】解：根据题意，结合椭圆定义得：椭圆的长轴长为，焦距为， 所以，椭圆的短半轴长为, 因为过椭圆中心的弦中，最短的弦为椭圆的短轴，即为， 所以，过该椭圆的中心的弦中，最短弦长为米. 故选：B 5．（2023·四川宜宾·统考三模）已知p：，q：表示椭圆，则p是q的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由椭圆方程的定义化简命题，根据充分条件和必要条件的定义即可判断结论. 【详解】若方程表示椭圆， 则， 解得或， 故：或，又p：， 所以p是q的必要不充分条件， 故选：C. 6．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点，若，则的面积等于（ ） A．18 B．10 C．9 D．6 【答案】C 【分析】四边形是矩形，设，，由椭圆的定义及勾股定理可求得，则的面积是，又的面积与的面积相等，即可得出答案. 【详解】据题意，四边形是矩形，设，， 则有，，由此可得， 所以的面积是， 又的面积与的面积相等，所以的面积等于9. 故选：C． 7．（2023·北京东城·统考二模）已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的标准方程，结合，即可求解. 【详解】由条件可知，，，， 所以，得， 故选：C 8．（2023·广西·校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，若已知过点且与椭圆相切的切线方程为，垂直于直线且与轴交于点，若为的中点，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求出直线的方程，令，得点的横坐标，再根据为的中点，求出，，再根据离心率公式可求出结果. 【详解】因为在椭圆上，所以， 若， ... ...
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