广东省深圳市龙华区2022-2023学年高一下学期第二次阶段考试（期中）数学试题（PDF版含答案）

龙华区 2022-2023 第二学期第二次阶段考试高一数学参考答案 BADD ACCB 9．AB 10．BC 11．ABD 12．ABD 13 2 5． 14．13 15．[ 2,2] 5 【分析】以 C 为原点，BC 为 x 轴正方向，过 C 垂直向上方向为 y 轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐 标运算直接求解. 【详解】 如图示，以 C 为原点，BC 为 x 轴正方向，过 C 垂直向上方向为 y 轴建立平面直角坐标系. 因为菱形 ABCD 的边长为 2，∠ABC = 60°，则B ( 2,0) , C (0,0) , D (1, 3 ) , A( 1, 3 ) . 因为点 P 在 BC 边上（包括端点），所以P (t,0) ,其中 t∈[ 2,0] . 所以 AD = (2,0) , AP = (t +1, 3 ) , 所以 AD AP = 2t + 2 . 因为 t∈[ 2,0]，所以 AD AP = 2t + 2∈[ 2,2] . 故答案为：[ 2,2] 16． 14 + 2 【详解】由题意，连接BD，取 AC BD = O ，分别取 SC,CD 的中点G, F ，连接EG,GF , EF ，如下图： 则 SO = 2 3， SO ⊥平面 ABCD，由 AC 平面 ABCD，则 SO ⊥ AC ， 第 1 页，共 6 页 在正方形 ABCD中， AC ⊥ BD， SO, BD SO BD = O， 平面 SBD， AC ⊥平面 SBD， 在△SBC 中，EG / /SB ， EG 平面 SBD， SB 平面 SBD，∴EG / / 平面 SBD， 同理可得EF / / 平面 SBD， EF , EG ∴ EF EG = E ， 平面EFG ， 平面EFG / / 平面 SBD，故 AC ⊥平面 EFG ，则点 P 的轨迹为 EFG的三边， 1 1 1 由中位线定理可知，EG = SB, EF = BD, FG = SD， 2 2 2 在正方形 ABCD中， AB = 2，则BD = 2 2 ， 2 在Rt△SOB 中， SB = SO2 +OB2 = 12 1+ BD = 14 ，同理 SD = 14 ， 2 1 1 1 点 P 的轨迹长为EF + EG + FG = BD + SB + SD = 2 + 14 . 2 2 2 3 2π 17．(1) (2) 2 3 （1）解：∵e1 ，e2 为单位向量，且e1 ， e2 的夹角为 120°， ∴ e1 e2 =1×1×cos120 1 ° = ． 2 ( ) ( ) 1 3∴ a b = 2e1 + e2 e2 e1 = 2e1 e2 2+1 e2 e1 = 1 2+1+ = ． 2 2 （2）设a与b 的夹角为θ． ( 2 ∵ a = a2 = 2e 11 + e2 ) = 4 4× +1 = 3， 2 b = b 2 = ( 2e 12 e1 ) = 1+ 2× +1 = 3 ， 2 ∴ cosθ a b 3 1 1 = = × = a b 2 3× 3 2 ． 又∵θ ∈[0,π ]， θ 2π∴ = ， 3 2π ∴ a与b 的夹角为 ． 3 第 2 页，共 6 页 18 3．（1）证明见解析；（2） . 3 （1）连结B1C 交 BC1于E ，连结ED．因为D，E 都是中点， 所以DE //AB1 ，又DE 平面BDC1 ， AB1 平面BDC1 ， 所以 AB1 // 平面BDC1 ． （2）因为 AB1 // 平面BDC1 ，所以VA BDC =V1 B1 BDC =V1 D BB1C . 取 BC 的中点F ，连接 AF ，得 AF ⊥ BC . 又CC1 ⊥平面 ABC ， AF 平面 ABC ，所以 AF ⊥ CC1 . 又 BC 平面BCC1B1，CC1 平面BCC1B1， BC ∩CC1 = C ， 所以 AF ⊥平面BCC1B1 . 1 又因为D为 AC 的中点，所以点D到平面BCC1B1的距离为 AF . 2 即三棱锥D BB C d 1 1 的高 = AF . 2 又因为 AB = AA1 = 2，所以d 1 AF 1 2 3 3= = × × = . 2 2 2 2 又 S 1 BB C = × 2× 2 = 2 1 3 3 ，所以 1 2 VA BDC =V 1 D BB = ×2× = . 1C 3 2 3 π π 19．（1） 或 ；（2）2 3 . 6 3 （1）由余弦定理知，a2 + b2 c2 = 2ab cosC ， 3 因为 (a2 + b2 c2 )sin C = ab ， 2 所以2abcosC sin C 3= ab，即sin 2C 3= . 2 2 π 2π π π 又0 < C < π ，所以2C = 或 ，所以C = 或 . 3 3 6 3 （2）由（1）及C π π > ，得C = ， 4 3 因为a + b + c =12，且c = 5，所以a + b = 7 ， 由余弦定理知，c2 = a2 + b2 2abcosC = (a + b)2 2ab 2ab×cos π ， 3 即 25 = 49 3ab ，所以ab = 8， 1 1 π 所以 S = absin C = ×8×sin = 2 3 ABC 的面积 . 2 2 3 第 3 页，共 6 页 20．(1)证明见解析 (2)2 （1） AB 是半圆D的直径，故 BE⊥ AE ，∠BAC = 90°，即 AB ⊥ AC ， 平面 ABE ∩平面 ABC = AB，且平面 ABE ⊥平面 ABC ， AC 平面 ABC ， 故 AC ⊥平面 ABE，又BE 平面 ... ...