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课件网) *5. 3 垂径定理 第五章 圆 知识点 感悟新知 1 垂径定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 特别提醒 1. “垂直于弦的直径”中的“直径”，其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可. 2. “两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆. 感悟新知 2. 示例：如图3-3-1，CD ⊥ AB 于点E，CD是⊙ O 的直径，那么可用几何语言表述为 感悟新知 如图3-3-2，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H，且CD=2 ，BD= ，则AB 的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 例 1 B 感悟新知 解题秘方：构造垂径定理的基本图形解题. 把半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里是解题的关键. 解：连接OD，如图3-3-2. ∵ CD ⊥ AB，CD=2 ， ∴ CH=DH= . 感悟新知 在Rt △ BHD 中，由勾股定理，得BH=1. 设⊙O的半径为r， 在Rt △ OHD 中，OH2+HD2=OD2， 即(r－1)2+( )2=r2， 解得r= . ∴ AB=3. 利用勾股定理列方程 感悟新知 1-1.［中考· 泸州］ 如图，AB 是⊙ O 的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO 的延长线交⊙ O 于点E. 若AC=4 ，DE=4，则BC 的长是( ) A.1 B. C.2 D.4 C 感悟新知 如图3-3-3，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直 线AB 上的两点，且AC=BD.求证：△ OCD 为等腰三角形. 例2 感悟新知 解题秘方：构建垂径定理的基本图形结合线段垂直平分线的性质证明. 作垂直于弦的半径(或直径)或连半径是常用的作辅助线的方法. 感悟新知 证明：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M，如图3-3-3. ∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM. ∵ AC=BD，∴ CM=DM. 又∵ OM ⊥ CD， ∴ OC=OD. ∴△ OCD 为等腰三角 感悟新知 2-1. 如图，已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C，D． 若大圆的半径R=10， 小圆的半径r=8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长. 感悟新知 知识点 垂径定理的推论 感悟新知 2 1. 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 感悟新知 2. 示例 如图3-3-4，CD 是⊙ O 的直径，AB 是弦(非直径)，AB 与CD 相交于点E，且AE=BE，那么CD 垂直于AB，并且AC = CB，AD = DB .可用几何语言表述为 ︵ ︵ ︵ ︵ 感悟新知 拓宽视野 对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(非直径)；(4)平分弦所对的劣弧；(5)平分弦所对的优弧.简记为“知二推三”. 感悟新知 如图3-3-5，AB，CD 是⊙ O 的弦，M，N 分别为 AB，CD 的中点，且∠ AMN = ∠ CNM. 求证：AB=CD. 例 3 解题秘方：紧扣弦的中点作符合垂径定理推论的基本图形，再结合全等三角形的判定和性质进行证明. 感悟新知 证明：如图3-3-5，连接OM，ON，OA，OC. ∵ O 为圆心，且M，N 分别为AB，CD 的中点， ∴ AB=2AM，CD=2CN，OM ⊥ AB，ON ⊥ CD. ∴∠ OMA= ∠ ONC=90° . ∵∠ AMN= ∠ CNM， ∴∠ OMN= ∠ ONM.∴ OM=ON. 又∵ OA=OC，∴ Rt △ OAM ≌ Rt △ OCN(HL). ∴ AM=CN. ∴ AB=CD. 感悟新知 3-1. 如图， ⊙ O 的弦AB=12，M 是AB 的中点， 且OM=2 ， 则⊙ O 的半径等于_____. 感悟新知 如图3-3-6，要把残破的圆片复制完整. 已知弧上的三点A，B，C，用尺规作图找出ABC所在圆的圆心(保留作图痕迹). 解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用垂直平分弦的直线经过圆心来找圆心. 例4 ︵ 感悟新知 解：如图3-3-6，连接AB，BC，分别作 AB，BC 的垂直平分线，两条垂直平分线的交 点即为所求圆的圆心. 感悟新知 4-1. 一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C 在⊙ O 上，CD 垂直平分AB 于点D．现测得AB=8 dm，DC=2 dm，则圆形标志牌的半径为_____. 5 dm 感悟新知 如图3-3-7，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)， ... ...
