人教B版（2019）必修一2.2.4均值不等式及其应用（含答案）

人教B版（2019）必修一2.2.4均值不等式及其应用 （共18题） 一、选择题（共10题） 已知 ，，，．则 的最小值是 A． B． C． D． 下列各式中，最小值是 的为 A． B． C． D． 若 ，则 的最小值为 A． B． C． D． 已知 ，，，则 的最小值是 A． B． C． D． 若 ，且 ，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 若 ，不等式 ，，，，可推广为 ，则 的值为 A． B． C． D． 设 ，．若 是 与 的等比中项，则 的最小值为 A． B． C． D． 已知正实数 ，， 满足 ，则当 取得最大值时， 的最大值为 A． B． C． D． 设 ，，且 恒成立，则 的最大值是 A． B． C． D． 若 ，，，且 ，则 的最小值为 A． B． C． D． 二、填空题（共4题） 周长为 的直角三角形面积的最大值为 ． 已知实数 ，，且 ，则 的最小值为 ． 若直线 （，）过点 ，则 的最小值为 ． 设 ，， 均为正实数，且 ，则 的最大值为 ． 三、解答题（共4题） 如图，矩形草坪 中，点 在对角线 上． 垂直 于点 ， 垂直 于点 ，，，设 ，．求这块矩形草坪 面积的最小值． 已知函数 ． (1) 解不等式 ； (2) 记函数 的最大值为 ，若 ，证明：． 回答下列问题： (1) 已知 ，且 ，求 的最小值； (2) 已知 ， 都是正实数，求 的最小值． 已知 ，， 为正数． (1) 若 ，求证：； (2) 若 ，求证：． 答案 一、选择题（共10题） 1. 【答案】D 【解析】由题意知 ，，，， 则 ， 当且仅当 时，等号成立．故最小值为 ． 故选D． 2. 【答案】C 3. 【答案】A 【解析】由题意，， 因为 ， 所以 ，， 所以 ，当且仅当 ，即 时，取等号． 4. 【答案】B 5. 【答案】D 6. 【答案】D 7. 【答案】A 【解析】根据等比中项定义，可知 ，化简可得 ． 所以 ，因为 ，，则 当且仅当 时取等号，即 ，． 8. 【答案】C 【解析】由正实数 ，， 满足 ， 得 ， 当且仅当 ，即 时， 取最大值 ， 又因为 ， 所以此时 ， 所以 ， 当且仅当 时等号成立．故最大值为 ． 9. 【答案】B 10. 【答案】D 【解析】由题意，得 ， 所以 ， 即 ，当且仅当 时，等号成立， 又 ，所以 ， 所以 的最小值为 ． 二、填空题（共4题） 11. 【答案】 【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为 ，， 则 ， 解得 ，当且仅当 时取等号， 所以直角三角形的面积 ， 即 的最大值为 ． 答案：． 12. 【答案】 13. 【答案】 【解析】因为直线 （，）过点（）， 所以 ， 因为 ，， 所以 当且仅当 ， 即 ， 时等号成立， 所以 的最小值为 ． 14. 【答案】 三、解答题（共4题） 15. 【答案】由题意 ，． 当且仅当 ，即 ， 时取得等号． 则这块矩形草坪 面积的最小值为 ． 16. 【答案】 (1) 由题，． 当 时， 恒成立，所以 ； 当 时， 即 ，所以 ； 当 时， 显然不成立，所以不合题意； 综上所述，不等式的解集为 ． (2) 由（）知 ， 于是 ， 由基本不等式可得 ， 当且仅当 时取等，所以 ． 17. 【答案】 (1) 因为 ， 所以 ． 因为 ， 所以 ，， 所以 （当且仅当 ，即 时取等号）， 所以 ， 故 的最小值为 ． (2) 解法一（换元法）：设 ，， 则 ，，且 ， 为正实数． 所以 ， 当且仅当 时，等号成立， 所以 的最小值是 ． 解法二（配凑法）： 因为 ， 为正实数， 所以 ，， 所以 当且仅当 时，等号成立， 所以 的最小值是 ． 18. 【答案】 (1) 因为 ，所以 因为 ，， 为正数，所以 ，，，当且仅当 时等号成立， 所以 ． (2) 因为 ，，，当且仅当 时等号成立， 所以 ，即 ， 因为 ，且 ，， 为正数， 所以 ，，， 所以 ． ... ...