第八章 §8.6.2 第2课时 直线与平面垂直的性质定理--高一数学人教A版（2019）必修第二册 课件（共43张PPT）

(课件网) 第2课时　直线与平面垂直的性质定理 第八章　8.6.2　直线与平面垂直 学习目标 1.掌握直线与平面垂直的性质定理，并加以证明.(重点) 2.会用直线与平面垂直的性质定理证明相关问题.(重点) 3.会求直线与平面、平面与平面的距离问题.(难点) 导语 在平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，在空间中是否有类似的性质呢？本节课我们就来学习一下！ 一、直线与平面垂直的性质定理 二、直线与平面垂直的性质定理的应用 三、空间中的距离问题 随堂演练 内容索引 直线与平面垂直的性质定理 一 问题1　如图1，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，棱AA′，BB′，CC′，DD′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？ 提示　平行. 问题2　如图2，已知直线a，b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定平行吗？ 提示　a与b平行. 问题3　你能证明吗？ 提示　如图，假设b与a不平行且b∩α＝O，显然点O不在直线a上， 所以点O与直线a确定一个平面， 在该平面内过点O作直线b′∥a， 则直线b与b′是相交于点O的两条不同直线， 所以直线b与b′可确定平面β， 设α∩β＝c，则O∈c.因为a⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c. 又因为b′∥a，所以b′⊥c. 这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，b′与c垂直，显然不可能.因此b∥a. 知识梳理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_____ 符号语言 图形语言 a⊥α， b⊥α a∥b 平行 注意点： (1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法. (2)直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了垂直与平行关系转化的依据. 例1 (多选)已知a，b，c为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是 A.若a⊥α，b∥β且α∥β，则a⊥b B.若a⊥b，a⊥α，则b∥α C.若a⊥α，b⊥α，a∥c则b∥c D.若a⊥α，β⊥α，则a∥β √ √ A选项，因为α∥β，a⊥α，则a⊥β， 又∵b∥β，∴a⊥b，故A正确； B选项，b有可能在平面α内，故B错误. C选项，因为a⊥α，b⊥α，所以a∥b， 又因为a∥c，所以b∥c，故C正确. D选项，a有可能在β内，故D错误. 反思感悟 (1)线面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”两种位置关系之间的内在联系. (2)常用线面垂直的性质还有：①b⊥α，a α b⊥a；②a⊥α，b∥a b⊥α；③a⊥α，a⊥β α∥β. 跟踪训练1 △ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是 A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定 √ ∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A， ∴l⊥平面ABC， 同理m⊥平面ABC，∴l∥m. 直线与平面垂直的性质定理的应用 二 例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. ∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD， ∴AE⊥AB， 又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD， ∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN. 反思感悟 证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点. (2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线. (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行. (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行. 跟踪训练2 如图，已知斜边为AB的Rt△ABC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足， (1)求证：EF⊥PB； ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC， 又AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC， ∴BC⊥平面PAC， ... ...