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课件网) 23.3.1 相似三角形 九年级上 1. 理解并掌握相似三角形的定义； 2. 理解判定三角形相似的常用结论，并能利用常用结论解决问题. 学习目标 重点 重点 难点 各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫相似多边形. 说说相似多边形的性质？如何判定？ 如图是相似三角形吗？需要满足什么条件？ A B C A′ B′ C′ 新课引入 在相似多边形中，最简单的就是相似三角形 (similartriangles)，它们是对应边成比例、对应角相等的三角形. A B C A' B' C' 相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”. 下图所示的两个三角形中， 新知学习 A B C A' B' C' 此时△ABC 与△A'B'C' 相似，记作 △ABC ∽△A'B'C' 读作：△ABC 相似于△A'B'C'， 如果记 那么，这个比值 k 就表示这两个相似三角形的相似比. 将对应顶点写在对应的位置上，这样可以比较容易地找到相似三角形的对应边和对应角. 当 k = 1 时，两个相似三角形有什么特点？ 当 k = 1 时，两个三角形全等，全等三角形是相似三角形的特例. 全等与相似的区别： 全等三角形：等角等边. 相似三角形：等角，对应边的长度可以等，也可以只是比例相等. 换言之，若两个三角形是全等三角形，则这两个三角形便是相似三角形；若这两个三角形是相似三角形，则不一定为全等三角形. 归纳 如图，在△ABC 中，D 为边 AB 上任意一点，作 DE// BC，交边 AC 于点 E，用刻度尺和量角器量一量，看看△ADE 与△ABC 的边角之间有什么关系，进而判断这两个三角形是否相似. 探究 A B C E D 思路点拨：显然∠ADE = ∠ABC，∠AED =∠ACB，∠A =∠A. 又由平行线分线段成比例的基本事实，可推得 ，通过度量，还可以发现 ，因而有△ADE∽△ABC. A B C E D 试着证明这个结论. 已知：如图，DE // BC，并分别交 AB、AC 于点 D、E. 求证：△ADE∽△ABC. A B C E D 证明：DE // BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C， ( 平行线分线段成比例 )， ∴ . 证明 A B C E D 过点 D 作 AC 的平行线交 BC 于点 F， ∴ ( 平行线分线段成比例 )， ∴ . ∴ . A B C E D ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形 DFCE 是平行四边形， ∴DE = FC. ∴ . 又∵∠ADE =∠B，∠AED =∠C，∠A =∠A， ∴△ADE∽△ABC ( 相似三角形的定义 ). 思考 如图，DE ∥ BC，△AED 与△ABC 是否还是相似的？请说明理由. A B C E D 仍然相似. 理由如下：如图，在AB上截取AF=AE，过点F作FG//DE交AC于点G， F G ∵FG//DE ∴∠AFG=∠E，∠AGF=∠D， 又 AF=AE， ∴△AFG≌ △AED, 又∵△AFG∽△ABC, ∴ △AED∽△ABC, 归纳 平行于三角形一边的直线，和其他两边 ( 或两边的延长线 ) 相交所构成的三角形与原三角形相似. A B C E D A B C E D 数学语言：( A 字型和 X 字型 ) ∵DE // BC ∴△ADE ∽△ABC. 由此，可以得到下面常用的结论： 例2 如图，在△ABC 中，点 D 是边 AB 的三等分点，DE∥BC，DE = 5. 求 BC 的长. A B C E D 解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC ( 平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形和原三角形相似 )， ∴ ∴BC = 3DE = 15. 针对训练 1.已知△ABC 的三条边长为 3 cm，4 cm，5 cm，△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1 的形状是_____，又知△A1B1C1 的最大边长为 25 cm，那么△A1B1C1 的面积为_____cm2. 直角三角形 150 1. 如图，在 □ABCD 中，EF∥AB， DE : EA = 2 : 3，EF = 4，求 CD 的长. 解：∵ EF∥AB，DE : EA = 2 : 3， ∴ △DEF ∽ △DAB， D A C B E F ∴ 即 解得 AB = 10. 又 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ CD = AB = 10. 随堂练习 2.如图，在 ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连结AM并延长交BC于点E，连结EN并延长交AD于点F. (1)求证：△AMD∽△EMB； 证明：∵四边形AB ... ...
