中小学教育资源及组卷应用平台 专题七 函数的性质———单调性、奇偶性、周期性 知识归纳 一、单调性定义的等价形式: 1、函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 2、函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 二、判断函数奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数； 若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 2、验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. 4、性质法：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． 5、复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． 三、常见奇、偶函数的类型 1、奇函数：①函数或函数． （也可以写成或） ②函数． ③函数或函数 ④函数或． ⑤函数 2、偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 ⑤函数 四、函数的周期性与对称性常用结论 1、函数的周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）； 2、函数对称性的常用结论 （1）若，则函数图象关于对称； （2）若，则函数图象关于对称； （3）若，则函数图象关于对称； （4）若，则函数图象关于对称； 3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系 （1）若函数满足，则其函数图象关于直线对称， 当时可以得出，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数满足，则其函数图象关于点对称， 当,时可以得出，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 4、函数对称性与周期性的关系 （1）若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是； （2）若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是； （3）若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是. 5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系 （1）①函数是偶函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为. （2）①函数是奇函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为. （3）①函数是奇函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为. （4）①函数是偶函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为. 其中，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。 典例分析 题型一、函数的单调性及其应用 例1-1．下列函数在上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】A：由二次函数性质知，图象开口向上， 且在上单调递减，在上单调递增，故A错误﹔ B：根据指数函数的单调性知，函数在上单调递增，将图象向右平移1个单位长度得出的图象，其在上单调递增，故B错误； C：由幂函数的单调性知在上单调递增，其在上单调递增，故C错误； D：根据余弦函数的单调性知，在上单调递减，当时，，又，所以在上单调递减，故D正确.故选：D. 例1-2．已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数，都有，则不等式的解集为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设，因为，所以， 故是上的增函数，原不等式等价于，解得． 例1-3．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以的增区间为，故选：D. 题型二、复合函数单调性的判断 例2-1．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】令，解得，令，则， ∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增， ∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是 例2-2．函数单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，．由，得． 因为函数是关于的递减函数，且时，为增函数， 所以为减函数，所以函数的单调减区 ... ...
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