中小学教育资源及组卷应用平台 专题八 幂函数与二次函数 知识归纳 一、幂函数的概念 一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数． 二、五种常见幂函数的图象与性质 函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 定义域 R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (－∞，0)减， (0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和 (0，＋∞)减 定点 (1，1) 三、常用结论 幂函数的图象特征与性质 在第一象限的图象，可分为如图中的三类，其余象限部分由奇偶性决定． (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义； (2)幂函数的图象过定点(1，1)； (3)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增，特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (4)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减； (5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． (6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． (7)对于形如f(x)＝xα(其中α∈Z)，当α为奇数时，幂函数为奇函数，图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数为偶函数，图象关于y轴对称． (8)对于形如f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数的奇偶性： ①当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； ②当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； ③当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)． 典例分析 题型一、幂函数的定义及其图像 例1-1．幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ） A． B．0或2 C．0 D．2 【答案】D 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，在上为减函数，不符合题意， 当时，在上为增函数，符合题意，所以. 例1-2．已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是_____． 【答案】 【详解】设，则，所以， 在上递增，且为奇函数，所以. 例1-3．若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为_____. 【答案】 【详解】因为函数是幂函数，所以，解得， 又其图象过点，所以，所以，则， 则，解得或，令， 则函数在上递增，在上递减， 又因函数为减函数，所以函数的单调递增区间为. 例1-4．下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】A 【详解】函数为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应； 函数，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应； 的定义域、值域都是，该函数图像应与③对应；，其图像应与④对应． 例1-5．函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有，那么_____. 【答案】 【详解】，点，，所以，， 将两点坐标分别代入，，得，，. 例1-6．已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 【答案】D 【详解】因函数的图象关于y轴对称，于是得函数为偶函数，即p为偶数， 又函数的定义域为，且在上单调递减，则有0， 又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确. 题型二、幂函数与二次函数性质的综合应用 例2-1．满足的实数m的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 【答案】D【解析】幂函数在为减函数，且函数值为正，在为减函数，且函数值为负， 等价于或或， 解得或或，所以不等式的解集为. 例2-2．不等式的解集为：_____． 【答案 ... ...
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