人教B版（2019）必修四11.3.1平行直线与异面直线 （共18题） 一、选择题（共11题） 在三棱锥 中，与 是异面直线的是 A． B． C． D． 点 ， 分别是三棱锥 的棱 ， 的中点，，，，则异面直线 与 所成的角为 A． B． C． D． 如图，正方体 中，， 分别是边 和 的中点，则 和 所成的角是 A． B． C． D． 在正方体 中与 成 角的面对角线的条数是 A． B． C． D． 在直三棱柱 中，若 ，，则异面直线 与 所成的角等于 A． B． C． D． 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑 中，，，且 ， 为 的中点，则异面直线 与 夹角的余弦值为 A． B． C． D． 直三棱柱 中，若 ，，则异面直线 与 所成的角等于 A． B． C． D． 在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为 A． B． C． D． 已知底面是边长为 的正方形的四棱锥 ，四棱锥的侧棱长都为 ， 是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为 A． B． C． D． 已知三棱柱 棱长都相等， 在底面 上的射影为 的中点，则异面直线 与 所成角的正弦值为 A． B． C． D． 如图，在三棱柱 中，侧棱 ，，，则异面直线 与 所成角的余弦值为 A． B． C． D． 二、填空题（共4题） 如图，点 ，，， 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线 与 是异面直线的图是 （填序号）． 将正方形 沿对角线 折起，当以 ，，， 四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线 与 所成的角为 ． 如图，在长方体 中，，，则异面直线 与 所成角的大小为 （结果用反三角函数表示）． 如图，四边形 和 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 在线段 上，， 分别为 ， 的中点．设异面直线 与 所成的角为 ，则 的最大值为 ． 三、解答题（共3题） 点 在平面 外， 在平面内，，，， 分别是线段 ，，， 的中点. (1) 求证：，，， 四点在同一平面上； (2) 若 ，，异面直线 与 所成角为 ，求 的长. 如图，已知点 在圆柱 的底面圆 上， 为圆 的直径，，，三棱锥 的体积为 ． (1) 求圆柱 的表面积； (2) 求异面直线 与 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形，，，， 为 的中点， 为 的中点，以 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题： (1) 证明：直线 ； (2) 求异面直线 与 所成角的大小； (3) 求点 到平面 的距离． 答案 一、选择题（共11题） 1. 【答案】C 2. 【答案】A 3. 【答案】B 【解析】如图，取 的中点 ，连接 ，， 在正方体 中，设正方体边长为 ， 易证 （或补角）为异面直线 与 所成的角， 在 中，，，， 由余弦定理得 ，即 ， 所以异面直线 与 所成的角为 ． 4. 【答案】C 5. 【答案】C 【解析】延长 至点 ，使 ，则 ， 或其补角为异面直线 与 所成的角．连接 ，易知 为等边三角形，因此，异面直线 与 所成的角为 ． 6. 【答案】C 【解析】设点 是 的中点，连接 ，， 由于 ， 分别是 ， 的中点，所以 是三角形 的中位线，故 ，所以 （或其补角）是异面直线 与 所成的角．根据鳖臑的几何性质可知 ，．故 ，，，在三角形 中，由余弦定理的推论得 ． 7. 【答案】C 【解析】延长 到 ，使得 ，连接 ，，则四边形 为平行四边形， 所以 ， 所以 就是异面直线 与 所成的角．设 ，则 ，故 为等边三角形， 所以 ． 8. 【答案】B 【解析】在正方体 中， 为棱 的中点，连接 ，， 因为 ， 所以 是异面直线 与 所成角，不妨设正方体 的棱长为 ，则 ，， 所以 ．则异面直线 与 所成角的正切值为 ． 9. 【答案】A 【解析】由题意，，异面直线 与 所成角为 ，则由中线长公式，可得 ，所以 ，所以 ． 10. 【答案】C 11. 【答案】A 【解析】由图可知 即为所求， 设 ，则 ，，， 由余弦定理计算可得 ． ... ...
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