第3章 勾股定理 1．图1、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上． （1）在图1中确定点C（点C在小正方形的顶点上），要求以A、B、C为顶点的三角形为等腰三角形，画出此三角形（画出一个即可）； （2）在图2中确定点D（点D在小正方形的顶点上），要求以A、B、D为顶点的三角形是以AB为斜边的直角三角形，画出此三角形（画出一个即可） 2．已知如图，长方体的长，宽，高，点在上，且，一只蚂蚁如果沿沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是多少？ 3．如图，把一块等腰直角三角形零件(△ABC，其中∠ACB＝90°)，放置在一凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，已知∠ADE＝∠BED＝90°，测得AD＝5cm，BE＝7cm，求该三角形零件的面积． 4．已知：如图1：在中，，，，在下方作于点，，动点从点开始沿边以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动．点和点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题： (1)连接，当为何值时，点在线段的垂直平分线上； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，请直接写出的面积． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．若AC＝8，BC＝4，求AE的长． 6．如图，四边形中，. (1)求的度数; (2)求四边形的面积= . (第二问直接写答案) 7．如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方．在中，，则．我们定义为“商高定理”． (1)如图1，在中，中，若，，则_____； (2)如图2，四边形的对角线、交于点，．试证明：； (3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、． ①求证：； ②当，时，则的值是_____． 8．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度CE； (2)如果小明想风筝沿CD方向下降7米，则他应该往回收线多少米？ 9．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明． 将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中∠DAB = 90°，求证：a2+b2=c2． 10．如图四边形ABCD，，，，、交于点F，E是AD上一点，且． (1)在1图中找出与相等的角，并证明你的结论 (2)在1图中设与交于点P，连接，探究、、三者之间的关系，并证明． (3)如图2，若平分，，求的长． 11．如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题： (1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由． (2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由． 12．两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成图1． 探索发现：试用不同的方法计算图1的面积，你能发现a、b、c间有什么数量关系？ 尝试应用：如图2，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，三边分别为a、b、c， ①若b－a=2，c=10，求此三角形的周长及面积． ②若b=12，a、c均为整数，试求出所有满足条件的a、c的值． 13．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以为一边 ... ...
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