中小学教育资源及组卷应用平台 第三单元第7讲 导数极值点偏移问题 讲 讲知识 讲方法 练 练题型 练真题 题型一：对称变换 题型二：比(差)值换元 题型三：消参减元 题型四：对数均值不等式 测 一、【讲】 【讲方法】 1.极值点偏移问题的解法 (1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1＋x2>(<)2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；对结论x1x2>(<)x型，构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式． (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 2.对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下： (1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x0. (2)构造函数，即根据极值点构造对称函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，若证x1x2>x，则令F(x)＝f(x)－f. (3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性. (4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系. (5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求. 3.含参函数问题可考虑先消去参数，其目的就是减元，进而建立与所求解问题相关的函数. 4.比(差)值换元就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的.一般用t表示两个极值点之比(差)，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题. 5.对数均值不等式可用对称化构造或比值换元进行证明，在解答题中，一般要先证明后应用.设a，b>0，a≠b，则>>，其中被称之为对数平均数，上述不等式称为对数均值不等式. 二、【练】 【练题型】 【题型一】对称变换 【典例1】已知函数f(x)＝＋ln x. (1)求f(x)的极值和单调区间； (2)若函数g(x)＝f(x)－a(a>2)的两个零点为x1，x2，证明：x1＋x2>4. 【典例2】已知函数f(x)＝－ln x＋x－a. (1)若f(x)≥0，求a的取值范围； (2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1. 【题型二】比(差)值换元 【典例1】已知函数f(x)＝－m的两个零点为x1，x2，证明：ln x1＋ln x2>2. 【典例2】已知函数f(x)＝xln x的图象与直线y＝m交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2).求证：x1x2<. 【题型三】消参减元 【典例1】已知函数f(x)＝ln(ax)＋ax2－2x，a>0.设x1，x2是函数f(x)的两个极值点，且x12. 【典例2】已知函数f(x)＝ln x－ax，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2，求证：x1·x2>e2. 【题型四】对数均值不等式 【典例1】已知f(x)＝a－－ln x有两个零点x1，x2，且x12. 【真题2】（2022贺州期末）已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）若，且，证明：． 三、【测】 1. 已知函数f(x)＝x(1－ln x)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且bln a－aln b＝a－b，证明：2<＋4. 4. 已知函数f(x)＝，f(x1)＝f(x2)＝t(02x1x2. 5. 已知函数f(x)＝x－ln x－a有两个不同的零点x1，x2. (1)求实数a的取值范围； (2)证明：x1＋x2>a＋1. 6. 已知f(x)＝x2－2aln x， ... ...
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