第四单元第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 -2024年新高考数学一轮复习讲义之讲-练-测

中小学教育资源及组卷应用平台 第四单元第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 讲 讲知识 讲方法 练 练题型 练真题 题型一：两角和与差的三角函数公式 题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 题型三：三角函数公式中变“角” 题型四：三角函数公式中变“名” 测 测基础 测能力 单选4题 单选4题 多选2题 多选2题 填空2题 填空2题 解答3题 解答3题 一、【讲】 【讲知识】 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)： cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)公式C(α＋β)： cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)公式S(α－β)： sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (4)公式S(α＋β)： sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. 2．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝. 【讲方法】 1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. 2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值. 3.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 4.对asin x＋bcos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚. 5.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； 6.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 7.常见的角变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋，＋α＝－，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＋＝等. 二、【练】 【练题型】 【题型一】两角和与差的三角函数公式 【典例1】已知cos α＋cos＝1，则cos等于(　　) A. B. C. D. 【典例2】化简：①sin x＋cos x＝ . 【典例3】已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　) A．－ B. C. D．－ 【题型二】两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 【典例1】若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ . 【典例2】已知α∈，tan α＝sin 76°cos 46°－cos 76°sin 46°，则sin α等于(　　) A. B．－ C. D．－ 【典例3】(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ . 【题型三】三角函数公式中变“角” 【典例1】已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝_____． 【典例2】已知sin α＝，sin(β－α)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　) A. B. C. D. 【典例3】已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝ . 【题型四】三角函数公式中变“名” 【典例1】求值：－sin 10°. 【典例2】求4sin 20°＋tan 20°的值为_____． 【练真题】 【真题1】(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin等于(　　) A. B. C. D. 【真题2】(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝(　　) A. B. C. D. 【真题3】(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　) A. B. C. D. 【真题4】(2018·全国Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ . 【真题5】(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　) A． B． C． D． 【真题6】(2020·高考全国卷Ⅱ)若sin x＝－，则cos 2x＝_____． 【真题7】(2020·高考全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 【真题8】(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　) A.－ B.－ C. D. 三、【测】 【测基础】 【单选题】 1. tan 105°等于(　　) A．2－ B．－2－ C.－2 D ... ...