中小学教育资源及组卷应用平台 第四单元第5讲 三角函数的图象与性质 讲 讲知识 讲方法 练 练题型 练真题 题型一：三角函数的定义域和值域 题型二：三角函数的周期性、奇偶性、对称性 题型三：求三角函数的单调区间 题型四：根据单调性求参数 测 测基础 测能力 单选4题 单选4题 多选2题 多选2题 填空2题 填空2题 解答3题 解答3题 一、【讲】 【讲知识】 1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 【讲方法】 1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象. 2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型： (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)； (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值). 3.三角函数周期的一般求法 ①公式法； ②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期. (2)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可. (3)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即可. (4)三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z). 4.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 5.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 二、【练】 【练题型】 【题型一】三角函数的定义域和值域 【典例1】函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为_____． 【解析】设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝， 且－≤t≤. ∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1， t∈[－，]． 当t＝1时，ymax＝1； 当t＝－时，ymin＝－. ∴函数的值域为. 【典例2】函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是_____． 【解析】由题意可得 f(x)＝－cos2x＋cos x＋ ＝－2＋1. ∵x∈， ∴cos x∈[0,1]． ∴当cos x＝，即x＝时，f(x)取最大值为1. 【典例3】函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为_____． 【解析】∵函数y＝lg(sin 2x)＋， ∴应满足 解得其中k∈Z， ∴－3≤x<－或0
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