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课件网) 第3章 圆锥曲线与方程 3.1 椭 圆 3.1.1 椭圆的标准方程 课标要求 素养要求 通过研究椭圆的定义及标准方程，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养. 1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、会求其标准方程. 问题导学预习教材 必备知识探究 内容 索引 互动合作研析题型 关键能力提升 拓展延伸分层精练 核心素养达成 WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU 问题导学预习教材 必备知识探究 1 一、椭圆的定义 1.思考 在画板上取两个定点F1和F2，把一条长度为定值且大于F1F2的细绳的两端固定在F1，F2两点.如图，用笔尖把细绳拉紧并使笔尖在画板上移动一周，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 提示 椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 2.填空 平面内到两个定点F1，F2的_____的点的轨迹叫作椭圆.两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的_____，焦距的一半称为_____. 距离之和等于常数(大于F1F2) 焦距 半焦距 温馨提醒 (1)当距离之和等于F1F2时，动点的轨迹是线段. (2)当距离之和小于F1F2时，动点的轨迹不存在. 3.做一做 思考辨析，判断正误 (1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1＋PF2＝4，则点P的轨迹是椭圆.( ) (2)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1＋PF2＝2，则点P的轨迹是椭圆.( ) 提示 因为PF1＋PF2＝F1F2，所以点P的轨迹是线段F1F2. (3)已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足PF1＋PF2＝1，则点P的轨迹是椭圆.( ) 提示 因为PF1＋PF2＜F1F2，所以动点P的轨迹不存在. √ × × 二、椭圆的标准方程 1.思考 你认为怎样建系可使所得椭圆方程形式简单？ 提示 以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴， 建立直角坐标系xOy. 2.填空 椭圆的标准方程 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) c2＝a2－b2 c2＝a2－b2 温馨提醒 (1)椭圆的标准方程的形式是：左边是“平方”＋“平方”，右边是1，切莫记为0. (2)椭圆的焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大.因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”. B 3.做一做 已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG 互动合作研析题型 关键能力提升 2 角度1 椭圆定义的直接应用 题型一 椭圆定义的应用 故由椭圆定义有AF1＋AF2＝2a＝10，BF1＋BF2＝2a＝10，又AF2＋BF2＝AB， 所以△AF1B的周长为AF1＋BF1＋AB＝AF1＋BF1＋AF2＋BF2 ＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝2a＋2a＝20. 角度2 椭圆中的焦点三角形 利用定义解决涉及焦点相关问题的计算 (1)定义是解决椭圆问题的常用工具，如果题目的条件能转化为动点到两定点距离之和为常数的问题，那么可考虑能否利用椭圆定义. (2)一般地，遇到有关焦点问题时，首先应考虑用定义来解题，如题目中有椭圆上的点到两焦点的距离可考虑用定义解题.另外，对定义的应用也应有深刻理解，知道何时应用、怎样应用. 思维升华 2 120° 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10； 题型二 求椭圆的标准方程 解 因为椭圆的焦点在x轴上， 因为2a＝10，所以a＝5. 又因为c＝4，所以b2＝a2－c2＝52－42＝9. (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0). (1)利用待定系数法求椭圆的 ... ...
