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课件网) 随机变量的数字特征（2） 高二年级 数学 则称 为离散型随机变量X的均值或数学期望 （简称为期望）． 如果离散型随机变量X的分布列如下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 知识回顾： 情境与问题：某省要从甲、乙两名射击运动员中选一人参加全运会，根据以往数据，这两名运动员射击环数的分布列分别如下.若从平均水平和发挥稳定性角度来考虑，要你决定谁参加全运会，你会怎样决定 说明理由. 甲的 环数X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 乙的 环数X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 因为E(X1)= E(X2)=9，所以仅从平均水平的角度考虑，是无法决定选谁参加的，怎样来衡量他们的发挥稳定性呢？ 设甲重复射击足够多次（设为n次）则甲所得环数可以估计为 8，8，…，8，9 ，9，…，9 ，10 ，10，…，10. 0.2n个 0.2n个 0.6n个 甲这组数的方差为 类似的，乙这组数的方差为 由于0.4<0.8，因此可以认为甲的发挥更稳定，应该派甲参加全运会. 如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则 叫做这个离散型随机变量X的方差. 称为离散型随机变量X的标准差. 离散型随机变量X的方差和标准差反映了离散型随机变量取值相对于均值的离散程度（或波动大小）. 情境与问题中，甲、乙射击环数的分布列用图直观地表示，也能看出D(X 1)与D(X 2)的相对大小. 例题 已知随机变量X服从参数为p的两点分布， 求 . 解：因为随机变量X的分布列为 而 所以 X 1 0 P p 1-p 二项分布的方差 若X服从参数为n，p的二项分布，即 ， 则 尝试与发现 已知X是一个随机变量，且分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 设a，b都是实数.且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量，而且E(Y)=aE(X)+b，那么，这两个随机变量的方差之间有什么联系呢？ 若X与Y都是离散型随机变量，且Y=aX+b，则由X与Y之间分布列和均值之间的关系可知 例题 已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，用X表示抽到的次品数. (1)求D(X)； (2)假设抽出的产品需要送往专门的检测部门检测，检测费用Y元与次品数X有关，且Y=10X+300，求D(Y). 解：(1) 因为X服从的是参数为50，0.02的二项分布，即X~B(50，0.02)，所以D(X)=50×0.02×(1-0.02)=0.98. (2) D(Y) =D(10X+300)=102D(X) =100×0.98=98. 例题 已知某射击选手射击的命中率是0.8，记他三次独立射击时的命中次数为X，求X的分布列、期望和方差. 解：X的可能取值为0，1，2，3. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 方法一： 方法二：因为X~B(3,0.8)，所以E(X)=3×0.8=2.4，D(X)=3×0.8×0.2=0.48 求：(1)在A、B两个项目上各投资100万元， Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)和D(Y2)； (2)根据得到的结论，对于投资者有什么建议？ 例题 A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析， X1和X2的分布列分别为 X1 2% 8% 12% X2 5% 10% P 0.2 0.5 0.3 P 0.8 0.2 所以 ， 解：(1)题目可知，投资项目A和B所获得的利润Y1和Y2的分布列为： Y1 2 8 12 Y2 5 10 P 0.2 0.5 0.3 P 0.8 0.2 ， . ， 解：(2) 由(1)可知 ，说明投资A项目比投资B项目期望收益要高； 同时 ，说明投资A项目比投资B项目的实际收益相对于期望收益的平均波动要更大. 因此，对于追求稳定的投资者，投资B项目更合适;而对于更看重利润并且愿意为了高利润承担风险的投资者，投资A项目更合适. 求随机变量的期望与方差的一般步骤（方法一）： 找到随机变量X的所有可能取值 ； 计算X取每一个值xi的概率 , 得到X的分布列: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 课堂小结 课堂小结 2.计算 （方法二） 1. ... ...
