专题6.2 等差数列 1．等差数列的概念 ⑴等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示. 用递推公式表示为或. ⑵等差中项：如果组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，由等差数列的定义可知 . ⑶等差数列的通项公式及其变形： ① 等差数列中， 则， 当时，也成立，故； ② ，两式相减可得 2.等差数列与一次函数的关系 由通项公式变形可得：， ⑴当时，等差数列为常数列； ⑵当时，等差数列的图象即为一次函数图象上，均匀排开的一系列的点； ①当时，等差数列为递增数列； ②当时，等差数列为递减数列； 3．等差数列的前项和 ⑴倒序相加法求等差数列的前和： ① ② ①+②得： 故 ⑵变形：将代入上式 ⑶与二次函数的关系： ⑴当时，； ⑵当时， ，关于的式子可看作二次函数. 即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点，且时图象开口向上，时图象开口向下. 4.等差数列的性质 1.等差数列的常用性质： ⑴等差数列中，若公差为，则，当时，； ⑵在等差数列中，若且，则； ⑶在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项，即； ⑷数列是公差为的等差数列，则从数列中抽出项，组成的数列仍是等差数列，公差为. ⑸在等差数列中，若，则； ⑹两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列； ⑺如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 5.等差数列的前和的性质 ⑴等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列； ⑵为等差数列，公差为数列公差的一半； ⑶设数列是等差数列，且公差为， I.若项数为偶数，设共有项，则①； ②； II.若项数为奇数，设共有项，则① (中间项)；②. ⑷若与为等差数列，且前项和分别为与，则. ⑸等差数列中，，则. ⑹等差数列中，若，则． 1.已知数列的通项公式是(其中为常数)，则数列一定是等差数列，且公差为. 2.在等差数列中，，则存在最大值；若，则存在最小值. 1.【人教A版选择性必修一 习题4.2 第6题 P25】已知等差数列和正项等比数列满足：，，且是和的等差中项． 求数列和的通项公式； 设，求数列的前项和． 2.【人教A版选择性必修一 习题4.2 第7题 P25】已知两个等差数列：，，，与：，，，，它们的公共项组成数列，则数列的通项公式 ；若数列和的项数均为，则的项数是 ． 【方法储备】 等差数列基本运算的常见类型及解题策略： 1.等差数列的通项公式和前项和公式中涉及5个量：，知三求二，即利用公式列出基本量和的方程组，解出和，体现了用方程的思想来解决问题. 2.若已知条件只有一个，则将已知条件与所求条件都用两个基本量表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． 3.运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．等差数列的常用性质：若且，则，常与求和公式结合使用． 4.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为,方便运算. 【典例精讲】 例1.(2022·河南省九校联考) 已知数列是各项均为正整数的等差数列，记是的前项和．若，，则( ) A. B. C. D. 例2.(2022·广东省湛江市期末) 在等差数列中，若，则的值为( ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练1-1(2022·福建省漳州市模拟) 已知为等差数列的前项和，若，则的值为( ) A. B. C. D. 练1-2(2023·安徽省安庆市模拟)（多选） 等差数列的前项和为，已知，，则( ) A. B. 的前项和中最小 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【方法储备】 等差数列的判定与证明方法： 1.定义法：证明对任意正整数都有． 2.等差中项法：证明对任意正整数都有. ... ...
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