青岛版数学九年级上册2.4解直角三角形 素养提升练（含解析）

第2章　解直角三角形 2.4　解直角三角形 基础过关全练 知识点1　解直角三角形的定义 1.【教材变式·P52习题T1】在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形. (1)∠B=60°,b=; (2)a=2,c=4; (3)∠A=30°,c=25. 知识点2　解直角三角形的方法 2.(2022山东淄博张店期末)如图,∠ACB=45°,∠PRQ=125°,△ABC的边BC上的高为h1,△PQR的边QR上的高为h2,则有(　　) A.h1=h2　　B.h1

h2　　D.以上都有可能 3.【面积法】(2023山东烟台模拟)如图,A、B、C在小正方形的顶点上,且每个小正方形的边长为1,则sin∠ACB的值为(　　) A.　　B. C.　　D.无法求得 　 　 第3题图 第4题图 4.【尺规作图】(2022山东济南外国语学校二模)如图,在 ABCD中,CD=4,∠B=60°,分别以点A,B为圆心、大于AB的长为半径作弧,两弧交点的连线交BC于点E,BE∶EC=2∶1,则 ABCD的面积为(　　) A.12　　　B.12　　　C.12　　　D.12 5.(2023江苏无锡惠山期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c. (1)若a=5,c=2a,求b、∠A; (2)若tan A=2,S△ABC=9,求△ABC的周长. 6.(2023山东聊城慧德中学月考)在△ABC中,AC=4,BC=6,∠C为锐角且tan C=1. (1)求△ABC的面积; (2)求AB的长; (3)求cos∠ABC的值. 能力提升全练 7.(2022广东广州中考,9,★)如图,正方形ABCD的面积为3,点E在边CD上,且CE=1,∠ABE的平分线交AD于点F,点M,N分别是BE,BF的中点,则MN的长为(　　) A.　　　B. C.2-　　D. 8.(2023山东菏泽成武月考,7,★)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O,∠AOD=60°,AC=BD=2,则这个四边形的面积是(　　) A.　　　B. C.　　　D.2 9.【新考向】(2022山东潍坊中考,14,★)小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸,折完后,发现折痕AB'与A4纸的长边AB恰好重合,那么A4纸的长AB与宽AD的比值为　　　　. 10.(2021四川绵阳中考,18,★★)在直角△ABC中,∠ACB=90°,+=,∠ACB的平分线交AB于点D,且CD=2,则斜边AB的长是　　　　. 11.【尺规作图】(2022江苏无锡中考,24,★)如图,△ABC为锐角三角形. (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图:在AC右上方确定点D,使∠DAC=∠ACB,且CD⊥AD;(不写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,若∠B=60°,AB=2,BC=3,则四边形ABCD的面积为　　　　. 素养探究全练 12.【模型观念】 问题呈现 如图1,在边长为1的正方形网格中,连接格点D,N和E,C,DN和EC相交于点P,求tan∠CPN的值. 方法归纳 求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中,我们可以利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点M,N,可得MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,连接DM,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中了. 问题解决 (1)直接写出图1中tan∠CPN的值为　　　; (2)如图2,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,求cos∠CPN的值; 思维拓展 (3)如图3,AB⊥BC,AB=4BC,点M在AB上,且AM=BC,延长CB到N,使BN=2BC,连接AN交CM的延长线于点P,用上述方法构造直角三角形求tan∠CPN的值. 答案全解全析 基础过关全练 1.解析　(1)在Rt△ABC中, ∵∠C=90°,∠B=60°,∴∠A=30°. ∵b=,∴c===2,∴a=c·sin A=2×=1. (2)在Rt△ABC中,∵a=2,c=4,∴b===2. ∵sin A==,∴∠A=45°,∴∠B=45°. (3)在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=60°. ∵c=25,∴a=c·sin A=25×=,b=c·sin B=25×=. 2.B　如图,过点A作AE⊥BC,垂足为E,过点P作PF⊥QR,交QR的延长线于点F, 在Rt△AEC中,∵AC=5,∠C=45°,∴h1=AE=AC·sin 45°=5sin 45°. ∵∠PRQ=125°,∴∠PRF=180°-∠PRQ=55°. 在Rt△PRF中,h2=PF=PR·sin 55°=5sin 55°,∵sin 45°