(
课件网) 8.2.2 一元线性回归模型 参数的最小二乘估计 高二数学选择性必修 第三册 第八章 成对数据的统计分析 学习目标 1.通过用数学方法刻画散点与直线接近的程度,体会一元线性回归模型参数的最小二乘估计原理，能推导参数估计公式; 2.通过对残差和残差图的分析，能用残差判断一元线性回归模型的有效性. 3.核心素养: 直观想象、数据分析、数学运算. 一、回顾旧知 1.一元线性回归模型 2.一元线性回归模型与函数模型的区别 Y称为因变量或响应变量 x称为自变量或解释变量 e是Y与bx+a之间的随机误差． a称为截距参数 b称为斜率参数 二、探究新知 1.问题1.为了研究两个变量之间的相关关系， 我们 建立了一元线性回归模型表达式 刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，我们能否通过样本数据估计参数a和b 与函数不同，回归模型的参数一般是无法精确求出的，只能通过成对样本数据估计这两个参数. 参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系,因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近. 2问题2.我们怎样寻找一条“最好”的直线，使得表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最“接近”？ 从成对样本数据出发，用数学的方法刻画 “从整体上看，各散点与直线最接近” 利用点到直线y=bx+a的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度. 父亲身高/cm 180 175 170 165 160 160 165 170 175 180 185 190 · · · · · · · 儿子身高/cm · · · · · · · 185 父亲身高/cm 180 175 170 165 160 160 165 170 175 180 185 190 · · · · · · · 儿子身高/cm · · · · · · · 185 我们设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1,y1)，(x2，y2），…，(xn，yn) 父亲身高/cm 180 175 170 165 160 160 165 170 175 180 185 190 · · · · · · · 儿子身高/cm · · · · · · · 185 y=bx+a · 残差平方和： 求a，b的值，使Q ( a，b )最小 上式是关于b的二次函数，因此要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为 3.最小二乘法 我们将 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫最小二乘法． 4.问题2:依据用最小二乘估计一元线性回归模型参数的公式,求出儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程. 儿子的身高不一定会是177cm，这是因为还有其他影响儿子身高的因素，回归模型中的随机误差清楚地表达了这种影响,父亲的身高不能完全决定儿子的身高，不过，我们可以作出推测，当父亲的身高为176cm时，儿子身高一般在177cm左右. 1). 当x=176时， ,如果一位父亲身高为176cm,他儿子长大后身高一定能长到177cm吗？为什么？ 2).根据经验回归方程 中斜率的 具体含义，高个子的父亲一定生高个子的儿子吗？同 样，矮个子的父亲一定生矮个子的儿子吗？ 根据经验回归方程 中斜率 0.839可以解释为父亲身高每增加1cm，其儿子的身 高平均增加0.839cm. 由模型可以发现，高个子父亲 x=185（cm），则 我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果,判断原始数据中是否存在 可疑数据,这方面的分析工作称为残差分析. (1)残差的定义 5.判断模型拟合的效果:残差分析 残差图:作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本编号,或身高数据或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图． 从上面的残差图可以看出，残差有正有负，残差点比较均匀地分布在横轴的两边，可以判断样本数据基本满足一元线性回归模型对于随机误差的假设.所以，通过观察残差图可以直观判断样本 ... ...
