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课件网) 14.1 勾股定理 第3课时 反证法 学习目标 通过证明具体实例，体会反证法的含义. 了解用反证法证明命题的一般步骤，发展逻辑思维能力. 知道证明一个命题除用直接证法外，还有间接证法. 回顾导入 还记得之前学习“两直线平行，同位角相等”时，我们是怎么证明这一结论的吗？ 已知：如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点G，H.求证：∠1=∠2. A C D B E H G F 1 2 证明：假设∠1≠∠2. 过点G作直线A′B′，使∠EGB′=∠2. 根据基本事实“同位角相等，两直线平行”，可得A′B′∥CD. A C D A′ B′ B E H G F 1 2 这样，过点G就有两条直线AB与 A′B′与直线CD平行. 这与基本事实“经过已知直线外 一点，有且只有一条直线与已知 直线平行”矛盾. 这说明∠1≠∠2的假设是不对的， 所以∠1=∠2. 反证法 反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著名的命题都是用反证法证明的. 一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法，有时该问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”. 用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的证明方法. 新知精讲 肯定结论--由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 用反证法证明一个命题，一般有三个步骤： 否定结论--假设命题的结论不成立； 推出矛盾--从假设出发，根据已知条件，经过推理论证，得出一个与命题的条件或已知的定义、基本事实、定理等相矛盾的结果； （1） （2） （3） 例1 用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，第一步应假设（ ） A.∠A=60° B.∠A＜60° C.∠A≠60° D.∠A≤60° D 解析：∠A与60°的大小关系有∠A＞60°，∠A=60°， ∠A＜60°三种情况， 因而，∠A＞60°的反面是∠A≤60°. 因此，用反证法证明“∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°. 典例精讲 例2 证明：平行于同一条直线的两条直线平行. 已知：如图，直线a∥c，b∥c. 求证：a∥b. 证明：假设直线a，b不平行， 那么它们相交，设交点为P. 由已知a∥c，b∥c， 这样过点P就有两条直线a，b与直线c平行. 这与基本事实“经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾. 这说明a，b不平行的假设是不对的，所以a∥b. a b c P 例3 用反证法证明：一个三角形中至少有两个锐角. 已知：△ABC. 求证：在∠A、∠B、∠C这三个内角中，至少有两个锐角. 证明：假设△ABC的三个内角中至多有一个锐角， 不妨设0°＜∠A＜90°， 则90°≤∠B＜180°，90°≤∠C＜180°. ∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与“三角形内角和等于180°”相矛盾. ∴一个三角形中至少有两个锐角. 用反证法证明时需注意的两点： （1）否定结论：原结论的反面一 定要找准确、全面； （2）注意步骤：先进行合理的假 设，再推出矛盾，最后得出结论. 课堂小结 反证法 反证法的含义： 反证法证明的步骤 否定结论 推出矛盾 肯定结论 反证法证明时需注意 一种间接的证明方法 结论反面找准找全 注意步骤 2.对于命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2”.用反证法证明，应假设（ ） A.a2＞b2 B.a2＜b2 C.a2≥b2 D.a2≤b2 1.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ） A.a不垂直于c B.a，b都不垂直于c C.a⊥b D.a与b相交 D D 当堂检测 3.用反证法证明：等腰三角形两底角必为锐角. 已知：△ABC是等腰三角形，∠B，∠C为底角. 求证：∠B与∠C都是锐角. 证明：①假设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角， 则∠B+∠C=180°， 而∠A+∠B+∠C=180°+∠A＞180°， 这与三角形内角和等于180°矛盾； ②假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角， 则∠B+∠C＞180°， 已 ... ...
