中小学教育资源及组卷应用平台 人教版八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质 导学案 【知识清单】 1.角的平分线的性质定理 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2.角的平分线的判定定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 3.三角形的角平分线 三角形角平分线交于一点,且到三边的距离相等. 4.与角平分线有关的辅助线 在角两边截取相等的线段,构造全等三角形; 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 【典型例题】 考点1:角平分线性质定理及证明 例1.如图,的三边,,长分别是20,30,40,其三条角平分线将分为三个三角形,则等于( ). A. B. C. D. 【答案】C 【分析】过点分别作,,的垂线,可得,从而可证,即可求解. 【详解】解:如图,过点分别作,,的垂线,垂足分别为点,,, 由角平分线的性质定理得:, 的三边,,长分别是20,30,40, . 故选:C. 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理,掌握定理是解题的关键. 考点2:角平分线的性质定理 例2.如图,在中,平分,交于D,点E、G分别在边、上,连接,.过D作于F.已知,,,则的面积为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【分析】过点作于点,角平分线的性质得到,进而推出,,得到,,进而得到,进行求解即可. 【详解】过点作于点, ∵平分,, ∴,,, 又, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴,即:, ∴; 故选A. 【点睛】本题考查角平分线的性质,以及全等三角形的判定和性质,解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等,构造全等三角形. 考点3:角平分线的判定定理 例3.如图,已知点P到,,的距离相等,下列说法:①点P在的平分线上;②点P在的平分线上;③点P在的平分线上;④点P在,,的平分线的交点上,其中正确的是( ) A.① B.②③ C.①②③ D.①②③④ 【答案】D 【分析】根据角平分线的判定定理判断即可. 【详解】解:∵点P到,的距离相等, ∴点P在的平分线上,①正确. ∵点P到,的距离相等, ∴点P在的平分线上,②正确. ∵点P到,的距离相等, ∴点P在的平分线上,③正确. ∴点P在,,的平分线的交点上,④正确. 故选:D 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理,掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上时解题的关键. 考点4:角平分线性质的实际应用 例4.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( ) A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等,所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点. 【详解】解:∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等, ∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点, 故选:D. 【点睛】该题考查的是角平分线的性质,因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等,所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点. 考点5:作角平分线 例5.如图,下列四种用无刻度直尺和圆规作角平分线的方法,其中不正确的个数是( ) A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】A 【分析】利用作图痕迹,第个图在和上取的长度不一致,可对第个图进行判断;通过全等三角形的判定与性质可对第个图和第个图进行判断;根据等腰三角形的性质可对第个图进行判断. 【详解】解:第个图在和上取的长度不一致,不符合作法,所以第个图符合题意; 第个图符合角平分线的作法,所以第个图不符合题意; 第个图可两次证明三角形全等得到角平分线,所以第个图不符合题意; 第个图可根据等腰三角形的性质得到角平分线,所以第个图不符合题意. 故选:. 【点睛】本题考查了作图基本作图:熟练掌握种基本作图是解决问题的关键.也考查了全等 ... ...
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