人教B版（2019）必修第三册8.1.2向量数量积的运算律 （共21题） 一、选择题（共13题） 若 ，，且 ，则 与 的夹角为 A． B． C． D． 已知向量 ， 满足 ，，．则 A． B． C． D． 在 中，， 边上的中线 ，，则 的长为 A． B． C． D． 在 中，非零向量 ，，若点 关于 所在直线的对称点为 ，则向量 为 A． B． C． D． 已知向量 ， 是两个非零向量，且 ，则 与 的夹角为 A． B． C． D． 在等边 中，， 为 边的中点，则 的值为 A． B． C． D． 已知 是边长为 的等边三角形 外接圆上的动点，则 的最大值为 A． B． C． D． 在 中，，，，， 为 的三等分点，则 A． B． C． D． 已知菱形 的边长为 ，，点 ， 分别在边 ， 上，，，则 A． B． C． D． 设 , , 则 A． B． C． D． 已知 ， 是夹角为 的两个单位向量，则 与 的夹角的余弦值是 A． B． C． D． 设非零向量 ，，则下列条件中：“ 与 平行”的充要条件的个数有 ①存在一个非零实数 ，使 或 ； ② ； ③ ； ④ ． A． B． C． D． 已知 是不等式组 表示的平面区域内的一点，， 为坐标原点，则 的最大值为 A． B． C． D． 二、填空题（共4题） 已知 ， 是单位向量，，且 ，则 ； ． 在 中，，，，则 ． 已知 中弦 ，则 ． 如图，在 中，，，，， 分别为边 ， 上的点，，且 ，则 ，若 是线段 上的一个动点，则 的最小值为 ． 三、解答题（共4题） 设 ，，求 的值． 如图，在 中，，，点 在线段 上，且 ．求： (1) 的长； (2) 的大小． 在正 中，，． (1) 试用 ， 表示 ； (2) 当 取得最小值时，求 的值． 已知 ，，且 与 的夹角为 ． (1) 求 ． (2) 若 ，求实数 的值． 答案 一、选择题（共13题） 1. 【答案】C 2. 【答案】B 【解析】 3. 【答案】B 【解析】因为 ， 所以结合题意可得 ， 则 ， 所以 ， 即 ． 4. 【答案】A 5. 【答案】B 【解析】设 与 的夹角为 ， 已知 ， 在等式 两边同时平方得 ， 可得 ， 因为 为非零向量， 所以 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 ． 故选B． 6. 【答案】C 7. 【答案】D 【解析】设 的外接圆的圆心为 ， 则圆的半径为 ， ， 故 ． 又 ， 故 ， 当 ， 同向共线时取最大值． 8. 【答案】B 【解析】解法一：因为 ，所以 ，以点 为坐标原点，， 分别为 ， 轴正方向建立直角坐标系，设 ，，所以 ，由 ， 为 的三等分点，可假设 ，所以 ，，所以 ，故选B． 解法二：若 ，则 ，即有 ，由 ， 为 的三等分点，可假设 ，则 故选B． 9. 【答案】A 10. 【答案】B 【解析】提示：，． 11. 【答案】B 【解析】由题可知 ，则 ，，，故可得 ．故选B． 12. 【答案】C 【解析】对①，由共线向量定理易知成立； 对②， 或 ，成立； 对③， 显然 ，但 不成立； 对④， 若 成立； 综上可知①②④符合要求． 13. 【答案】D 【解析】点 所在的平面区域为 ，如图所示： 要求 的最大值，只需找出 在 方向上的 投影最大值即可，很明显 符合所求，所以 的最大值为 ． 二、填空题（共4题） 14. 【答案】 ； 【解析】因为 ， 所以 ． ． 15. 【答案】 16. 【答案】 17. 【答案】 ； 【解析】因为 ， 所以 ． 又因为 且 ， 所以 为等边三角形， 所以 ，，，． 设 的长为 ，则 ， 当且仅当 时取等号， 所以 的最小值为 ． 三、解答题（共4题） 18. 【答案】方法一： 因为 ， 所以 ． 又因为 ， 所以 ， 所以 ，则 ． 方法二：设 ，． 因为 ， 所以 ． 因为 ， 所以 ， 则 ， 所以 ． 19. 【答案】 (1) 设 ，，则 ． 所以 所以 ． (2) 设 ，则 为 与 的夹角． 所以 ． 所以 ，即 ． 20. 【答案】 (1) 因为 ， 所以 ， 所以 ． (2) 因为 是正三角形，且 ， 所以 ． 因为 ， 所以 ． 所以 所以 时， 取最小值． 21. 【答案】 (1) ， ． (2) 因为 ， 所以 ， 即：，， 解得 ． ... ...
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