2023-2024学年高中数学苏教版2019必修二同步试题 13.3.2空间图形的体积（含解析）

13.3.2空间图形的体积 一、单选题 1．如图，正方体中，E，F分别为棱AB，BC的中点，过，E，F三点的平面将正方体分割成两部分，两部分的体积分别为，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 结合台体体积公式、正方体体积公式求得正确答案. 【详解】 由于，所以共面， ，所以是台体， 设正方体的边长为， ， 所以. 故选：C 2．正四棱台的上，下底面的边长分别为2，4，侧棱长2，则其体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解. 【详解】 作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图， 因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2， 所以该棱台的高， 下底面面积，上底面面积， 所以该棱台的体积. 故选：C. 3．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和，则方亭的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 分析可知，设，则，，过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、，根据正四棱台的侧面积计算出的值，再利用台体的体积公式可求得结果. 【详解】 由题意得，设，则，. 过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、， 在等腰梯形中，因为，，，则四边形为矩形， 所以，，， 因为，，，所以，， 所以，，所以，， 所以等腰梯形的面积为，得. 所以，，，故方亭的体积为. 故选：C. 4．长方体长宽高分别为3，4，12，那么该长方体外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用长方体的棱长，求出它的体对角线即求出外接球的直径，由此据球的表面积公式即可求出球的表面积． 【详解】 解：长方体长宽高分别为3，4，12， 所以长方体的体对角线为， 所以长方体外接球的直径， 故外接球的表面积为． 故选：A 5．如图，圆锥PO的底面直径和高均为4，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 用锥体体积减去柱体体积. 【详解】 由题意知，因为为的中点，所以挖去圆柱的半径为1，高为2，剩下几何体的体积为圆锥的体积减去挖去小圆柱的体积， 所以. 故选：B 6．如图1，在高为h的直三棱柱容器中，，．现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则容器的高h为（ ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】A 【解析】 【分析】 利用两个图形装水的体积相等即可求解. 【详解】 在图1中， 在图2中，， . 故选：A. 二、多选题 7．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的有（ ） A． B．该圆台轴截面ABCD面积为 C．该圆台的体积为 D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm 【答案】BCD 【解析】 【分析】 A由圆台轴截面的性质求母线与底面直线所成角大小即可；B应用梯形面积公式求轴截面面积；C利用圆台的体积公式求体积；D将圆台侧面展开，结合对应圆锥侧面展开图性质及勾股定理求两点的最短距离. 【详解】 A：由已知及题图知：且，故，错误； B：由A易知：圆台高为，所以圆台轴截面ABCD面积，正确； C：圆台的体积，正确； D：将圆台一半侧面展开，如下图中且为中点，而圆台对应的圆锥体侧面展开为且，又，所以在△中，即C到AD中点的最短距离为5cm，正确. 故选：BCD 8．矩形中，，，将此矩形沿着对角线折成一个三棱锥，则以下说法正确的有（ ） A．三棱锥的体积最大值为 B．当二面角为 ... ...