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课件网) 23.3.3 相似三角形的性质 教学目标 1. 在对相似三角形的原有认知的基础上，进一步探究相似三角形的其它性质. 2. 通过观察、思考、发现相似三角形的性质，包括相似三角形对应边上的高、中线、对应角的角平分线还有周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方；能用演绎推理加以证明，并能运用这些性质进行简单的计算与说理. 3. 经历探索相似三角形性质的过程，体验研究数学问题的一般方法和转化的数学思想，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力. 教学重难点 1. 探索并证明相似三角形的其它性质. 2. 能根据相似三角形的这些性质解决简单的数学问题. 情景导入 A C B A1 C1 B1 性质：相似三角形对应角相等、对应边成比例. 若△ABC∽ △A1B1C1 三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？ 高、角平分线、中线的长度，周长、面积等 高 角平分线 中线 A' B' D' C' A B C D A' B' C' E' A B C E 相似三角形的对应线段之间有什么数量上的关系呢？ 获取新知 △ABD和△A'B ' D'都是直角三角形，且∠B=∠B'，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似. 因此 结论1.相似三角形对应边上的高的比等于相似比 一、相似三角形对应边上的高的比等于相似比 二、相似三角形对应的中线的比等于相似比 已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′的中线，求证： 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′. ∴ ∠B=∠B′ ． 又AD,A'D′分别为对应边的中线. ∴ △ABD∽△A′B′D′. A' B' D' C' A B C D 三、相似三角形对应角的平分线的比等于相似比 A' B' C' E' A B C E 已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即 且BE,B′E′是角的平方线，求证： 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′ ∴ ∠A′B′C′= ∠ABC, ∠B′A′C′= ∠BAC． 又BE,B′E′分别为对应角的平方线 ∴ ∠ABE= ∠A′B′E′. ∴ △ABE∽△A′B′E′. 四、相似三角形周长的比等于相似比 证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k， 求证：相似三角形的周长比等于相似比. A B C A1 B1 C1 五、相似三角形面积的比等于相似比的平方 证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′. ∵△ABC∽△A′B′C′. A B C A′ B′ C′ D D′ 1. 相似三角形对应边上的高的比等于相似比． 2. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比． 3. 相似三角形对应角的平分线的比等于相似比． 4. 相似三角形的周长之比等于相似比； 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方； 易错警示：利用相似三角形的性质时， 要注意“对应”两字，要找准对应线段． 例题讲解 例1 如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E. 当SR= BC时，求DE的长.如果SR= BC呢？ 解：∵ SR⊥AD， BC⊥AD,∴ SR∥BC. ∴ ∠ASR=∠B， ∠ARS=∠C. ∴ △ASR∽△ ABC(两角分别相等的两个三角形相似）. (相似三角形对应高的比等于相似比）， 当SR= BC时，得 解得DE= h. 当SR= BC时，得 解得DE= h. 例2 已知：如图，□ ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝ EC，BD，AE相交于F点． (1)求△BEF的周长与△AFD的周长之比； (2)若△BEF的面积为6 cm2，求△AFD的面积． 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD. ∴△BEF∽△DAF. ∵BE＝ EC， ∴BE∶DA＝BE∶BC＝1∶3. ∴△BEF的周长与△AFD的周长之比为1∶3. (2)由(1)可知△BEF与△AFD的相似比为 ∴S△BEF∶S△AFD＝1∶9. 又∵S△BEF＝6 cm2，∴S△AFD＝54 cm2. 随堂演练 1.如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这两个相似三角形面积的比是( ) A．2∶3 B. C．4∶9 D．8∶27 C 2.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，B ... ...
