中小学教育资源及组卷应用平台 高中数学重难点突破 专题十三 函数的零点与不等式 知识归纳 1、零点的定义 对于函数，方程的实数根称为函数的零点 2、函数零点存在性定理 设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得。 （1）在上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设连续） ① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若，那么在不一定有零点 ③ 若在有零点，则不一定必须异号 3、零点唯一的条件 若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一 4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系 设函数为，则的零点即为满足方程的根，若,则方程可转变为，即方程的根在坐标系中为交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。 5、恒成立与存在性问题 (1)恒成立问题 1. x∈D,均有f(x)>A恒成立，则f(x)min>A； 2. x∈D,均有f(x)
g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) >0，∴ F(x)min >0 4. x∈D,均有f(x)>g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) <0，∴ F(x) max<0 5. x1∈D, x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min> g(x)max 6. x1∈D, x2∈E,均有f(x1) A成立，则f(x) max >A； 2. x0∈D,使得f(x0)﹤A成立，则 f(x) min g(x0)成立，设F(x)= f(x)- g(x)，∴ F(x) max >0 4. x0∈D,使得f(x0) g(x2)成立，则f(x) max > g(x) min 6. x1∈D, x2∈E,均使得f(x1) g(x2)成立，则f(x)min> g(x) min 2. x1∈D, x2∈E, 使得f(x1) A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为D； 2.若不等式f(x)0. 所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，所以a＝1. 故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3. (2)由(1)知g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2， g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝1＋－＝，令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3. 当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下表： x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增 ... ... 