专题七 导数与函数的单调性 学案

中小学教育资源及组卷应用平台 高中数学重难点突破 专题七 导数与函数的单调性 知识归纳 1．函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)＞0 单调递增 f′(x)＜0 单调递减 2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 3．利用导数求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求导数f′(x)． (3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数． (4)结合定义域写出单调区间． 典例分析 【例1】(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x) 的图象可能为(　　) (2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(　　) 【例1】(1)D　(2)D　[(1)由函数的图象可知：当x＜0时，函数单调递增，导数始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D. (2)从f′(x)的图象可以看出，在区间内，导数单调递增；在区间内，导数单调递减．即函数f(x)的图象在内越来越陡，在内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合．] 【变式1】已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　) 【变式1】C　[当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上为减函数； 当x＞1时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故选C.] 【例2】求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝x2－ln x；(3)f(x)＝sin x－x； 【例2】(1)f′(x)＝6x2＋6x－36. 由f′(x)>0得x<－3，或x>2，由f′(x)<0解得－30得－， 又∵x>0，∴x>， ∴函数f(x)的单调递增区间为； 由f′(x)<0得x<－或00，∴0