专题五 导数的概念及计算 学案

中小学教育资源及组卷应用平台 高中数学重难点突破 专题五 导数的概念及计算 知识归纳 1．函数的平均变化率 (1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为＝，其中Δx＝x2－x1是相对于x1的一个“增量”，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)是相对于f(x1)的一个“增量”． (2)平均变化率的几何意义 设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率，如图所示． 2．瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限， 即 ＝ . 3．导数的概念 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作f′(x0)或y′|x＝x0， 即f′(x0)＝ . 4．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax f′(x)＝axln a(a＞0) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝(a＞0，且a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝ 5．导数的运算法则 (1)和差的导数：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)积的导数：①[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；②[cf(x)]′＝cf′(x)． (3)商的导数:＝(g(x)≠0)． 6．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 7．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 典例分析 【例1】已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率． 【变式1】如图所示，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于(　　) A．1　　　　B．－1 C．2 D．－2 【例2】设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝1，则f′(x0)等于(　　) A．1 B．－1 C．－ D． 【变式2】设函数f(x)可导，则 等于(　　) A．f′(1) B．3f′(1) C．f′(1) D．f′(3) 【例3】求下列函数的导数． (1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝sin x. 【变式3】给出下列命题：①y＝ln 2，则y′＝；②y＝，则y′|x＝3＝－； ③y＝2x，则y′＝2xln 2； ④y＝log2x，则y′＝.其中正确命题的个数为(　　) A．1 B．2　　 　C．3　　　 D．4 【例4】求下列函数的导数． (1)y＝x－2＋x2； (2)y＝3xex－2x＋e； (3)y＝； (4)y＝x2－sin cos. 【变式4】设y＝－2exsin x，则y′等于(　　) A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x) 【例5】求下列函数的导数． (1)y＝e2x＋1； (2)y＝； (3)y＝5log2(1－x)； (4)y＝sin3x＋sin 3x. 【变式5】求下列函数的导数． (1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；(3)y＝2sin；(4)y＝. 同步练习 午练（基本概念与基础运算） 1．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则的值为(　　) A．4 B．4x C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx 2．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为(　　) A．3　　　　　　 B．2 C．1 D．4 3．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　　) A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1 4．函数y＝(2 019－8x)3的导数y′＝(　　) A．3(2 019－8x)2 B．－24x C．－24(2 019－8x)2 D．24(2 019－8x)2 5．函数y＝mx2m－n的导数为y′＝4x3，则(　　) A．m＝－1，n＝－2 B．m＝－1，n＝2 C．m＝1，n＝2 D．m＝1，n＝－2 6．若f(x)＝ ... ...