第八章 二元一次方程组 *8.4 三元一次方程组的解法 01 02 能解简单的三元一次方程组 理解三元一次方程组的概念 学习目标 新课导入 在刚刚过去的2022北京冬奥会赛场上，我国运动员取得了历史最好成绩，斩获金牌、银牌、铜牌共15枚，其中，金牌数量是银牌数量2倍多1，银牌数量是铜牌数量的2倍，问：金、银、铜牌数量各几枚？ 请同学们尝试求解 方法1：解：设铜牌x枚，则银牌2x枚，金牌（4x+1)枚. 根据题意可列方程： x+2x+4x+1=15 解得x=2 2x=4, 4x+1=9 答：金牌9枚，银牌4枚，金牌2枚. 还有其他方法吗？能不能设多个未知数呢？ 方法2：解：设金牌x枚，银牌y枚，铜牌z枚 根据题意可列方程： x+y+z=15 y=2z x=2y+1 这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成 &????+????+????=15&????=2????+1&????=2???? ? 这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都 是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 怎样解三元一次方程组呢？ （1）解二元一次方程组的基本方法有哪几种？ 基本方法：代入法和加减法； （2）它们的实质是什么？ 实质：消元． 二元一次方程组 一元一次方程 消元 化归转化思想 回顾 代入消元法或者加减消元法对于解三元一次方程组适用吗？ 让我们来看前面列出的三元一次方程组 &????+????+????=15①&????=2????+1②&????=2????③ ? 仿照前面学过的代入法，我们可以先把 y=2z③代入②，得x=4z+1④, 再把y=2z③和x=4z+1④ 代入①，得4z+1+2z+z=15 得z=2 再把z=2分别代入③,④得y=4,x=9 所以这个三元一次方程组的解为????=9????=4????=2 答：获得金牌9枚，银牌4枚，铜牌2枚. ? 请大家尝试解下面的三元一次方程组 ????+????+????=????????①????+????????+????????=????????????=?????????③② 它们组成方程组 ? 对于这个方程组，消哪个元比较方便？理由是什么？ 将③分别代入①②，得到两个只含y，z的方程： &5????+????=12，&6????+5????=22． ? 得到二元一次方程组后，就不难求出y和z了，进而可求出x &5????+????=12，④&6????+5????=22??⑤ ? 具体过程如下： ????+????+????=????????①????+????????+????????=????????????=?????????③② 解：将③分别代入①②，得到两个只含y，z的方程： ? &4????+????+????=12，&4????+2????+5????=22． ? ④×5，得?25????+5????=60⑥ ⑥－⑤，得19y=38 得 y=2 把y=2代入④，得z=2 把y=2代入③，得x=8 因此这个三元一次方程组的解为 ????=8????=2????=2 ? 即 ① ② ③ 如何用加减消元法解这个方程组？ ③与④组成方程组 解这个方程组，得 解：① ②，得 ④ 把 x=8，y=2代入①，得 所以 z=2. 因此，这个三元一次方程组的解为 解三元一次方程组的基本思路是：通过“ ”或“ ”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 . 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 消元 三元 二元 二元一次方程组 一元一次方程 化归转化思想 归纳总结 代入 加减 例1 解三元一次方程组 解： ② ③，得 ④ ① ② ③ ①与④组成方程组 解这个方程组，得 把 x=5，z=-2代入①，得 2×5+3?????2=9, ? 所以 y= . 因此，这个三元一次方程组的解为 你还有其他解法吗？试一试，并与这种解法进行比较？ 所以这个方程组的解????=5????=13????=?2 ? 方法2： 例2 在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值. 解:根据题意，得三元一次方程组 a－b＋c= 0， ① 4a＋2b＋c=3， ② 25a＋5b＋c=60. ③ ②－①， 得 a＋b=1 ④ ③－①，得 4a＋b=10 ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 a＋b=1， 4a＋b=10. 解这个方程组，得????=3????=?2 ? 把 ????=3????=?2 代入①，得c=-5 ? 因此???? ... ...
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