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课件网) 第二章 三角计算 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.1 二倍角的正弦、余弦、正切公式 2.2 正弦型函数的性质和图像 2.3 解三角形 2.4 三角计算的应用举例 2.5 2.1 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.1 探索 设是任意的两个角，试问：的关系如何？ 由于正弦函数和余弦函数的最小正周期都是，因此我们只要讨论和的情形． 在直角坐标系中，作单位圆，它与轴的正半轴交于点，以射线为始边作角，它的终边与单位圆交于点.接着以射线为始边作角，它的终边与单位圆交于点，则角的始边为射线,终边为射线．再以射线为始边作角，它的终边与单位圆交于点.如图2.1-1所示． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.1 于是各点的坐标分别是 ， ． 由于角与角旋转的数量相同，因此的长度与的长度相等，从而弦AC与弦BD的长度相等． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.1 怎么求平面上两点间的距离？ 运用平面上两点间距离公式，从得出 将上式左右两边都展开，得 ． 利用同角的三角函数的关系式以及诱导公式，整理得 ． 从而得出 ． 利用周期性可得出，这个公式对于任意角都成立． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.1 （1） 公式（1）称为两角和的余弦公式． 因此，对于任意角有下式成立： 在公式（1）中用代替，就得到 由此得出，对任意角有下式成立 ： 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.1 （2） 公式（2）称为两角差的余弦公式. 1 不用计算器，求的值． 例 解 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.1 把角分解成恰当的两个特殊角的和或差，是应用两角和与差的余弦公式求值的关键．比如15°可以写成，也可以写成. 2 已知求的值． 因为，所以 . 因为所以 例 解 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.1 从而 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.1 3 证明：对任意角，有 在公式（3）中，用代替，得 例 证明 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.1 （3） （4） 4 证明：对任意角，有 在公式（3）、（4）中 ，用代替，得 例 证明 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.1 （5） （6） 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.1 探索 设是任意角，试问： 的关系如何？ 的关系如何？ 根据公式（3）以及公式（2）、（4）得 因此，对于任意角有下式成立 ： 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.1 把公式（7）中的用代替，得 因此，对于任意角有下式成立 ： 公式（7）、（8）分别称为两角和（差）的正弦公式． （7） （8） 5 不用计算器 ， 求的值． 例 解 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.1 6 设是任意实数，，求函数的最小正周期. 根据诱导公式得 ， 因此是的一个周期．由于的最小正周期是，因此是的最小正周期． 例 解 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.1 7 求下列函数的最小正周期 ： （1） （2） 分析 利用两角和（差）的正弦公式, 把所给函数化成的形式,然后利用例6的结论作答． （1） 例 解 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.1 由于的最小正周期是， 因此函数 的最小正周期是． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.1 （2） 由于的最小正周期是， 因此 的最小正周期是． 对于一般形式的怎样转化成？即怎样确定与？ 8 求函数的最小正周期． 例 解 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.1 在如图2. 1- 2 所示的直角三角形中，边长为3 的直角边所对的角记作，则， 于是 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.1 因此 ，的最小正周期是． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.1 探索 两角和、两角差的正切公式是什么样子？ 设都属于正切函数的定义域，则 公式（9）和（10）中都不能等于 即 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.1 公式（9 ... ...
