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课件网) 第6章 平面解析几何 6.5 抛物线 考点一 抛物线的定义和标准方程 1. 定义：平面内到一个定点F和一条不过定点F的定直线l的距离相等的点的轨 迹称为抛物线.定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线. 2. 抛物线的标准方程及相关要素： 图形 标准方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0） 焦点坐标 准线方程 考点二 抛物线的几何性质 3. 抛物线的几何性质： 图形 标准方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0） 顶点 O（0，0） 离心率 e＝1 对称轴 x轴 y轴 取值范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 开口方向 右 左 上 下 考向一 抛物线的定义 典型例题 例1 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，若抛物线上的点P（a，3）到 焦点的距离为5，则该抛物线的方程为（ ）. A. x2＝8y B. x2＝4y C. x2＝－4y D. x2＝－8y 变式训练1 A. 7 B. －7 C. 5 D. －5 C 考向二 抛物线的标准方程 典型例题 例2 （1）（2020年安徽省文化素质分类考试）已知抛物线的焦点坐标为（4， 0），则此抛物线的标准方程为（ ）. A. x2＝8y B. x2＝16y C. y2＝8x D. y2＝16x （2）（2019年安徽省文化素质分类考试）若直线x＋y－3＝0过抛物线y2＝2px 的焦点，则p＝（ ）. B. 3 C. 6 D. 12 【方法提炼】（1）求抛物线的标准方程的方法： ①直接法：直接利用题中已知条件确定参数p. ②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件确定参数p. ③定义法：判定所求点的轨迹符合抛物线的定义，进而求出方程. 求抛物线方程的主要步骤是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后 定量，即求出方程中p的值，从而求出方程. （2）若已知抛物线的焦点在坐标轴的某半轴上，则由条件将抛物线的标准方程 设为y2＝2px（p＞0）或y2＝－2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0）或x2＝－2py （p＞0），进而求解. （3）若只知抛物线的对称轴为x轴或y轴，而开口方向不确定，则可将抛物线的 标准方程设为y2＝mx（m≠0）或x2＝my（m≠0），从而避免了分类讨论.前 者焦点在x轴上，后者焦点在y轴上，再根据条件求m.若m＞0，则抛物线开口 向右（上）；若m＜0，则抛物线开口向左（下）. 变式训练2 A. y2＝－8x B. y2＝8x C. x2＝－y D. x2＝y 【解析】由题意可设抛物线的标准方程是y2＝－2px（p＞0），将点（－2，4） 代入，得16＝－2p×（－2），则2p＝8，故抛物线的标准方程是y2＝－8x. A A. x2＝8y B. x2＝－8y C. y2＝8x D. y2＝－8x B 考向三 抛物线的几何性质 典型例题 例3 （2026届安徽省中职“江淮十校”高三摸底学情监测）已知抛物线y2＝4x 的焦点为F，点M在y轴上，线段MF的中点B在抛物线上，则点M的坐标为 （ ）. C. （0，2）或（0，－2） D. （0，1）或（0，－1） 【方法提炼】设出y轴上点M的坐标，根据抛物线标准方程确定其焦点坐标，再 利用线段的中点坐标公式求出线段MF的中点坐标，再将中点坐标代入抛物线标 准方程，即可求出点M的坐标. 变式训练3 B. y＝2 D. y＝－2 B D A. x＝－1 B. y＝0 C. x＝0 D. y＝－1 B A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 A. x2＝8y B. x2＝4y C. y2＝8x D. y2＝4x A. （5，0） B. （10，0） C. （0，5） D. （0，10） B A A C A. x2＝8y B. x2＝－4y C. x2＝4y D. x2＝－8y C A. 2 B. 4 C. －2 D. －4 A. （－2，0） B. （2，0） C. （4，0） D. （－4，0） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 D A C A. 2∶1 B. 1∶2 C. 1∶4 D. 4∶1 D A. x2＝8y B. x2＝8y或y2＝－x C. y2＝－x D. x2＝－y或y2＝8x D B. 3 B B A. （4，4） B. （1，2） C. （4，－4） D. （1，－2） C 【解析】 ... ...
