2024新课标理数高考专题复习--第十五、十六章 坐标系与参数方程、不等式选讲（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024新课标理数高考专题复习 第十五、十六章 坐标系与参数方程、不等式选讲 1.(2023河南新乡三模,22,中)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin. (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程; (2)P为直线l上一点,过P作曲线C的两条切线,切点分别为A,B,若∠APB≥,求点P的横坐标的取值范围. 解析　(1)由曲线C的参数方程为(α为参数), 可得x2+y2=5cos2α+5sin2α=5,即曲线C的普通方程为x2+y2=5. 由ρsin,得ρ(sin θ+cos θ)=4, 所以直线l的直角坐标方程为x+y-4=0. (2)设P(x,4-x),若∠APB≥, 则∠APO≥, 所以sin∠APO≥,即|OP|≤|OA|, 所以,化简得x2-4x+3≤0, 解得1≤x≤3,即点P的横坐标的取值范围为[1,3]. 2.(2023贵州二模,22,中)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C:+y2=1.以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程; (2)求曲线C上一点N到直线l距离的最小值,并求出取最小值时点N的坐标. 解析　(1)由直线l的参数方程(t为参数),消t得直线l的普通方程为=0,将代入直线l的方程,得直线l的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-2=0, 曲线C的一个参数方程为(α为参数). (2)因为点N在曲线C上,设N(cos α,sin α), 则N到直线l的距离为d=,其中sin φ=,cos φ=,当sin(α+φ)=1, 即α+φ=时取得最小值,dmin =, ∴α=-φ, ∴cos α=sin φ=,sin α=sin=cos φ=, 故此时点N的坐标为, 综上,曲线C上一点N到直线l距离的最小值为,取最小值时点N的坐标为. 3.(2023陕西西安长安一中二模,22,中)在极坐标系中,O(0,0),A,以极点O为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,已知直线l的参数方程为(t为参数,α∈R),且点P的直角坐标为(-1,2). (1)求经过O,A,B三点的圆C的极坐标方程; (2)求证直线l与(1)中的圆C有两个交点M,N,并求|PM|·|PN|的值. 解析　(1)由已知O,A,B的极坐标和极直互化公式得O,A,B的直角坐标分别为(0,0),(0,6),(6,6),∴∠OAB为直角. ∴经过O,A,B三点的圆C的圆心为(3,3),且经过原点O,则圆C的半径为r=, ∴圆C的方程为(x-3)2+(y-3)2=18,即x2+y2-6x-6y=0,化成极坐标方程得ρ2-6ρcos θ-6ρsin θ=0,即ρ=6cos θ+6sin θ. (2)将直线l的参数方程(t为参数,α∈R)代入圆C的方程(x-3)2+(y-3)2=18,并整理得t2-2(4cos α+sin α)t-1=0, 此方程的判别式Δ=[-2(4·cos α+sin α)]2-4×1×(-1)=[2(4cos α+sin α)]2+4>0, ∴此方程有两个不等实根,∴直线l与(1)中的圆C有两个交点. 设两个交点M,N所对应的参数值分别为t1,t2,则t1,t2是该方程的两个实数根, ∴t1t2=-1,由直线l的参数方程和点P的坐标可知,|PM|·|PN|=|t1||t2|=|t1t2|=1. 4.新考法(2023宁夏银川一中一模,22,中)如图,在极坐标系Ox中,点A(4,π),曲线M是以OA为直径,O1为圆心的半圆,点B在曲线M上,四边形OBCD是正方形. (1)当∠AOB=时,求B,C两点的极坐标; (2)当点B在曲线M上运动时,求点D轨迹的极坐标方程. 解析　(1)连接AB,OC,因为OA是直径,所以AB⊥BO, 在Rt△AOB中,|OA|=4,∠AOB=, ∴|OB|=4×cos, ∴点B的极坐标为, 在正方形OBCD中,|OC|=,∠AOC=, ∴点C的极坐标为. (2)设D(ρ,θ),B(ρ0,θ0),且①, 由题意可得O1的直角坐标为(-2,0),所以曲线M的直角坐标方程为(x+2)2+y2=4(y≥0),即x2+4x+y2=0(y≥0),将x=ρ0cos θ0,y=ρ0sin θ0代入曲线M的直角坐标方程得极坐标方程为ρ0=-4cos θ0,当θ0=时,O,B两点重合,不合题意, ∴点B的极坐标方程为ρ0=-4cos θ0, 将①式代入得点D的极坐标方程为ρ=-4cos=4sin θ. 5.新考法(2023安徽合肥一模,22,中)已知曲线C:x2+y2=2,从曲线C上的任意点P(x,y)作压缩变换得到点P'(x',y'). (1)求点P'(x',y') ... ...